תשובה:
פתרון: # (x ~ ~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
הסבר:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # # או
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # או
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # או
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # או
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0: # # או
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 או (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # או
# cos (x / 2) = 5/4 # מאז טווח #cos x # J #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # או
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~ 53.13 ^ 0 #
כמו כן #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53.13 * 2 ~ ~ 106.26 ^ 0 #
ו # x = (-53.13) * 2 ~ ~ -106.26 ^ 0 #
פתרון: # (x ~ ~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans
תשובה:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # מספר שלם # k #
הסבר:
בואו נתחיל על ידי החלפת # y = x / 2 # להיפטר מזוויות השבר.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
הצורה המועדפת של הנוסחה הקוסינוס כפול זווית הוא
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
החלפת, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
זה כאב גורם אבל קצת החיפוש מגיע עם
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 או cos y = -5 / 4 #
אנחנו יכולים להתעלם מהקוסינוס מחוץ לטווח.
#cos y = 3/5 #
אנו יכולים להשתמש בנוסחת זווית כפולה:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
זה משולש פיתגורס #7^2+24^2=25^2# אז אנחנו יכולים לנסות לכתוב את זה כמו # arctan (pm 24/7) # אבל זה יותר שורשים זרים.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # מספר שלם # k #
לבדוק:
נבדוק זוג עם מחשבון.
# x = טקסט {Arc} טקסט {cos} (- 7/25) כ- 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 times 10 ^ {- 8} quad sqrt #
בוא נוסיף 360 ונבדוק שוב:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = 15.6 quad # לא עובד.
בגלל חצי זווית, התשובה הנכונה נראה
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # מספר שלם # k #
