מהו משפט של דמויבר? + דוגמה

התיאור של דמובר מתרחב על הנוסחה של אוילר:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

משפטם של דמובר אומר:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

דוגמא:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2 icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

למרות זאת, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin = 2x #

פתרון עבור חלקים אמיתיים ודמיוניים של #איקס#:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

בהשוואה ל #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

אלה הן נוסחאות זווית כפולה עבור # cos # ו #חטא#

זה מאפשר לנו להרחיב #cos (nx) # או #sin (nx) # במונחים של כוחות # sinx # ו # cosx #

אפשר לדון במשפט של דמובר:

בהתחשב # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

# (- n) = (cxx + isinx) ^ (n) = 1 / (cx (nx) + isin (nx)) #

(cx (nx) + (cx (nx) + isin (nx) xx (cos (nx) -inin (nx)) (cos (nx) -inin (nx)) = (cos (nx) (cx ^ 2 (nx) + sin = 2 (nx)) = cos (nx) -inisin (nx) # (nx)

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) # #

אז, אם אתה רוצה להביע # sin = nx # במונחים של זוויות מרובות של # sinx # ו # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

הרחב ופשוט, ולאחר מכן ערכי קלט עבור # z ^ n + z ^ (- n) # ו # z ^ n-z ^ (- n) # # היכן שנחוץ.

עם זאת, אם זה מעורב # cos ^ nx #, אז היית עושה # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # ופעל לפי השלבים הבאים.