מתי אתה משתמש נוסחה של הרון למצוא שטח?

אתה יכול להשתמש בו בכל פעם שאתה יודע את אורכי כל שלושת הצדדים של המשולש.

אני מקווה שזה היה מועיל.

תשובה:

נוסחה של הרון היא כמעט תמיד הנוסחה הלא נכונה להשתמש; נסה משפט של ארכימדס למשולש עם שטח # A # ואת הצדדים #א ב ג#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # איפה # s = 1/2 (a + b + c) #

זה האחרון הוא הרון מסולסל דק.

הסבר:

גיבור אלכסנדריה כתב במאה הראשונה לספירה. למה אנחנו ממשיכים לענות את התלמידים עם התוצאה שלו כאשר יש הרבה יותר מודרני המודרני נחמד אין לי מושג.

נוסחת הרון לאזור # A # של משולש עם צדדים #א ב ג# J

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # איפה # s = 1/2 (a + b + c) # הוא חצי למחצה.

אין ספק נוסחה זו היא מדהימה. אבל זה מביך להשתמש בגלל השבר, אם נתחיל בקואורדינטות, ארבעה שורשים מרובעים.

בוא נעשה את המתמטיקה. אנחנו מרובעים ומחסלים # s # אשר משמש בעיקר כדי להסתיר #16# וגורם חשוב. אולי כדאי לך לנסות את זה בעצמך קודם.

# (A + b + c) - a (+ 2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# (A + b + c) (1/2 + a + b + c)) 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + bc) #

# A + b + c (+ b + c) # a + b + c (a + b + c)

זה כבר הרבה יותר טוב מהצורה של הרון. אנחנו שומרים את החלק עד הסוף ואין עוד תוהה לגבי המשמעות של חצי למחצה.

המקרה המנוון אומר. כאשר אחד מהגורמים האלה עם סימן מינוס הוא אפס, זה כאשר שני הצדדים מסתכמים בדיוק לצד השני. אלה מרחקים בין שלוש נקודות קוליניאריות, המשולש המנוון, ואנחנו מקבלים שטח אפס. הגיוני.

ה # a + b + c # גורם מעניין. מה זה אומר לנו נוסחה זו עדיין עובד אם אנו משתמשים דיפלמנטס, אורכים חתומים, במקום כל חיובי.

הנוסחה עדיין מביכה להשתמש בקואורדינטות נתון. בואו נכפיל את זה; אולי כדאי לך לנסות את זה בעצמך;

# A + b + c (+ b + c) # a + b + c (a + b + c)

# + (+ a + b-c + c ^ 2) a-2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# # (-^ ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# # (-^ ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # #

צורה זו תלויה רק בריבועי האורכים. זה ברור לחלוטין סימטרי. אנחנו יכולים ללכת מעבר להרון עכשיו ולומר אם אורכי בריבוע הם רציונליים, כך גם השטח המרובע.

אבל אנחנו יכולים לעשות יותר טוב אם נציין

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = a = 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

הפחתת,

# 16A ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # #

זה הצורה הכי יפה.

יש טופס א-סימטרי למראה שהוא בדרך כלל הכי שימושי. אנו מציינים

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

מוסיף את זה

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

זה טופס שימושי ביותר. יש באמת שלוש דרכים לכתוב את זה, להחליף הצדדים.

קולקטיבי אלה נקראים "משפט" ארכימדס, מן NJ Wildberger Rational Trigonometry.

כאשר נתון קואורדינטות 2D, לעתים קרובות את הנוסחה שרוך הוא הנתיב המהיר ביותר לאזור, אבל אני אשמור את זה עבור הודעות אחרות.