הזיהום באווירה רגילה הוא פחות מ -0.01%. בשל דליפת גז ממפעל, הזיהום גדל ל -20%. אם כל יום 80% מהזיהום מנוטרלים, כמה ימים האווירה תהיה נורמלית (log_2 = 0.3010)?

תשובה:

#ln (0.0005) / ln (0.2) ~ 4.72 # ימים

הסבר:

אחוז הזיהום הוא #20%#, ואנחנו רוצים להבין כמה זמן זה לוקח את זה כדי לרדת #0.01%# אם הזיהום יורד #80%# כל יום.

משמעות הדבר היא כי בכל יום, אנו מכפילים את אחוז הזיהום על ידי #0.2# (#100%-80%=20%)#. אם נעשה את זה במשך יומיים, זה יהיה אחוז כפול #0.2#, כפול #0.2# שוב, וזה כמו הכפלת על ידי #0.2^2#. אנחנו יכולים לומר שאם נעשה את זה # n # ימים, היינו מתרבים על ידי # 0.2 ^ n #.

#0.2# הוא הסכום המקורי של זיהום, ו #0.0001# (#0.01%# ב עשרוני) הוא הסכום שאנחנו רוצים להגיע. אנחנו תוהים כמה פעמים אנחנו צריכים להכפיל #0.2# כדי להגיע לשם. אנו יכולים לבטא זאת במשוואה הבאה:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

כדי לפתור את זה, אנחנו הראשונים לחלק את שני הצדדים על ידי #0.2#:

# (Cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

עכשיו אנחנו יכולים לקחת לוגריתם משני הצדדים. איזה לוגרייתם שאנחנו משתמשים בו לא ממש משנה, אנחנו פשוט אחרי מאפייני הלוגריתם. אני הולך לבחור את הלוגריתם הטבעי, שכן הוא נמצא על רוב המחשבונים.

#ln (0.2 ^ n) = ln (0.0005) #

מאז #log_x (a ^ b) = blog_x (a) # אנו יכולים לשכתב את המשוואה:

#nln (0.2) = ln (0.0005) #

אם נחלק את שני הצדדים, נקבל:

# n = ln (0.0005) / ln (0.2) ~ 4.72 #