מהי ההשלכה של (3i + 2j - 6k) על גבי (3i - 4j + 4k)?

תשובה:

ההקרנה הווקטורית היא #< -69/41,92/41,-92/41 >#, היטל הסקלרי הוא # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

הסבר:

בהתחשב # veca = (3i + 2j-6k) # ו # vecb = (3i-4j + 4k) #, אנחנו יכולים למצוא #proj_ (vecb) veca #, ה וקטור הקרנה של # veca # אל # vecb # תוך שימוש בנוסחה הבאה:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

כלומר, את המוצר נקודה של שני וקטורים מחולק לפי גודל # vecb #, כפול # vecb # מחולק לפי גודל. הכמות השנייה היא כמות וקטורית, כפי שאנו מחלקים וקטור על ידי סקלר. שים לב שאנחנו מחלקים # vecb # על פי גודלה כדי להשיג וקטור יחידה (וקטור עם גודל של #1#). ייתכן שתבחין כי הכמות הראשונה היא סקלרית, כפי שאנו יודעים כי כאשר אנו לוקחים את המוצר נקודה של שני וקטורים, התוצאה היא סקלרית.

לכן, סקלר הקרנה של # a # אל # b # J #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, נכתב גם # proj_ (vecb) veca | #.

אנחנו יכולים להתחיל על ידי לקיחת מוצר נקודה של שני וקטורים, אשר ניתן לכתוב כמו # veca = <3,2, -6> # ו # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4, 4>

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

אז נוכל למצוא את גודל # vecb # על ידי לקיחת שורש הריבוע של סכום הריבועים של כל אחד מהרכיבים.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) # #

# | vecb | = sqrt (3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) # #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

ועכשיו יש לנו כל מה שאנחנו צריכים כדי למצוא את היטל וקטור של # veca # אל # vecb #.

# (4, 4, 4) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

אתה יכול להפיץ את מקדם לכל רכיב של וקטור לכתוב כמו:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

היטל סקלרי של # veca # אל # vecb # הוא רק המחצית הראשונה של הנוסחה, שם #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. לכן, היטל הסקלר הוא # -23 / sqrt (41) #, אשר לא לפשט עוד יותר, מלבד כדי לתרץ את המכנה אם תרצה, נתינה # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

מקווה שזה עוזר!