רדיוס של שני מעגלים קונצנטריים הם 16 ס"מ ו 10 ס"מ. א.ב. הוא קוטר של המעגל הגדול. BD הוא משיק למעגל קטן נוגע בו ב D. מהו אורך של AD?

תשובה:

#bar (AD) = 23.5797 #

הסבר:

אימוץ המקור #(0,0)# כמרכז משותף עבור # C_i # ו # C_e # וקורא # r_i = 10 # ו # r_e = 16 # את נקודת המגע # p_0 = (x_0, y_0) # הוא בצומת #C_i nn C_0 # איפה

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

כאן # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

פתרון עבור #C_i nn C_0 # יש לנו

# (x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2): #

הפחתת הראשון מן המשוואה השנייה

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # לכן

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # ו # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

לבסוף המרחק המבוקש

# (=) = sqrt (r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2 = = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

או

#bar (AD) = 23.5797 #

הסבר:

אם #bar (BD) # הוא משיק # C_i # לאחר מכן #hat (ODB) = pi / 2 # כדי שנוכל להחיל פיתגורים:

# bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = בר (OB) ^ 2 # קביעת # r_0 #

# r_0 ^ 2 = בר (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

הנקודה # D # קואורדינטות, נקרא # (x_0, y_0) # יש לקבל לפני חישוב המרחק המבוקש #bar (AD) #

ישנן דרכים רבות לעשות זאת. שיטה חלופית היא

# y_0 = bar (BD) sin (כובע (OBD)) # אבל #sin (כובע (OBD)) = בר (OD) / bar (OB) #

לאחר מכן

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # ו

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

על פי הנתונים הנתונים לעיל מצויר.

O הוא המרכז המשותף של שני מעגלים קונצנטריים

#AB -> "קוטר המעגל הגדול" #

# AO = OB -> "רדיוס המעגל הגדול" = 16 ס"מ #

#DO -> "רדיוס המעגל הקטן" = 10cm #

#BD -> "משיק למעגל קטן יותר" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

תן # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) # #

ב #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

החלת חוק הקוסינוס ב #Delta ADO # אנחנו מקבלים

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# = = AD = 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #