מהי המשמעות של נגזרת חלקית? תן דוגמה ועזור לי להבין בקצרה.

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

אני מקווה שזה עוזר.

הנגזרת החלקית קשורה במהותה לסך השינוי.

נניח שיש לנו פונקציה #f (x, y) # ואנחנו רוצים לדעת כמה הוא משתנה כאשר אנו מציגים תוספת לכל משתנה.

תיקון רעיונות, ביצוע #f (x, y) = k x y # אנחנו רוצים לדעת כמה זה

#F (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

בדוגמה שלנו יש לנו דוגמה

(x + dx, y + dy) x = d x + dx + k y y + k dx dy d =

ואז

(x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

בחירה #dx, dy # אז באופן שרירותי קטן #dx dy בערך # 0 # ואז

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

אבל בדרך כלל

# f (x + dx, y + dy) (x, y) = 1 (2, x) (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy) = =

(X, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + # (d + x, y) -f (x, y)) / dx dx +1 /

+ (D + dx + 1/2) f (x + dx, y + dy) -f (x + dx), y)) / dy dy #

ועכשיו #dx, dy # קטן באופן שרירותי יש לנו

# x, y) dx + f_y (x, y) dy + dx + f_y (x, y) d =

כך שנוכל לחשב את השונות הכוללת של פונקציה מסוימת, על ידי חישוב הנגזרים החלקיים #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # ואת הרכבה

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

הנה, כמויות #f_ (x_i) # נקראים נגזרים חלקיים ויכולים להיות מיוצגים גם כ

# (חלק f) / (x_i חלקית) #

בדוגמה שלנו

#f_x = (חלק f) / (x החלקי) = k x # ו

#f_y = (חלק f) / (y חלקי) = k y #

הערה

# (x, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (d + 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

# (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim ((dx-> 0), (d + 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

כדי להשלים את התשובה של Cesareo לעיל, אני יספק הגדרה קפדנית פחות מבחינה מתמטית קפדנית.

הנגזרת החלקית, באופן רופף, מספרת לנו כמה תפקוד רב-משתני ישתנה כאשר מחזיקים משתנים אחרים קבועים. למשל, נניח שאנחנו מקבלים

#U (A, t) = A ^ 2t #

איפה # U # היא פונקציה (אושר) פונקציה של מוצר מסוים, # A # הוא כמות המוצר, ו # t # הוא הזמן שבו המוצר משמש.

נניח כי החברה המייצרת את המוצר רוצה לדעת כמה השירות הם יכולים לצאת מזה אם הם להגדיל את תוחלת החיים של המוצר על ידי 1 יחידה. הנגזר החלקי יספר לחברה ערך זה.

הנגזרת החלקית מסומנת בדרך כלל על ידי האות היוונית דלטה באותיות קטנות (#חלקי#), אבל יש רישומים אחרים. אנו נשתמש #חלקי# לעת עתה.

אם אנחנו מנסים למצוא כמה השירות של המוצר משתנה עם הגדלה של יחידה אחת בזמן, אנו מחשבים את הנגזרות החלקית של השירות ביחס לזמן:

# (partU) / (partt) #

כדי לחשב את PD, אנו מחזיקים משתנים קבועים אחרים. במקרה זה, אנו מתייחסים # A ^ ^ 2 #, המשתנה האחר, כאילו היה מספר. היזכרות מחישוב המבוא כי הנגזרת של קבוע פעמים משתנה הוא רק קבוע. זה אותו רעיון כאן: הנגזרת (החלקית) של # A ^ ^ 2 #, קבוע, פעמים # t #, המשתנה, הוא רק קבוע:

# (partU) / (partt) = A ^ 2 #

לפיכך, עלייה של יחידה אחת בזמן השימוש במוצר מייצרת # A ^ ^ 2 # יותר תועלת. במילים אחרות, המוצר הופך להיות משביע רצון יותר אם הוא יכול לשמש לעתים קרובות יותר.

יש הרבה, הרבה יותר לומר על נגזרות חלקיות - למעשה, כל הקורסים לתואר ראשון ובוגר יכול להיות מוקדש לפתרון רק כמה סוגים של משוואות נגזרים חלקיים - אבל הרעיון הבסיסי הוא נגזרת חלקית אומר לנו כמה אחד שינויים משתנים כאשר האחרים נשארים ללא שינוי.