איך אתה להוכיח arcsos x x = pi / 2?

תשובה:

כפי שמוצג

הסבר:

תן

# arcsinx = theta #

לאחר מכן

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

תשובה:

ההצהרה נכונה כאשר פונקציות הטריגר ההופכי מתייחסות לערכים העיקריים, אך זה דורש תשומת לב קפדנית יותר מאשר התשובה הנותנת.

כאשר הפונקציות ההופכות טריג נחשבות multivalued, אנו מקבלים תוצאה ניואנס יותר, למשל

#x = חטא ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # אבל #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

אנחנו חייבים לחסר כדי להגיע # pi / 2 #.

הסבר:

זה אחד מסובך ממה שהוא נראה. התשובה האחרת אינה מעניקה לה את הכבוד הראוי.

כנס כללי הוא להשתמש באות קטנה #arccos (x) # ו #arcsin (x) # כמו כל ביטוי בהתאמה, המציין את כל הערכים שהקוסינוס או הסינוס שלהם יש ערך נתון #איקס#.

המשמעות של סכום אלה היא באמת שילוב אפשרי, ואלה לא תמיד נותנים # pi / 2. # הם אפילו לא תמיד לתת אחד זוויות coterminal # pi / 2 + 2pi k quad # מספר שלם # k #, כפי שנראה כעת.

בואו נראה איך זה עובד עם multivalued הפוכה פונקציות טריג הראשון. זכור בכלל # cos x = cos # יש פתרונות # x = pm a + 2pi k quad # מספר שלם # k #.

# c = arccos x # פירושו באמת

#x = cos c #

#s = arcsin x # פירושו באמת

#x = sin s #

#y = s + c #

#איקס# הוא משחק את התפקיד של פרמטר אמיתי כי sweeps מ #-1# ל #1#. אנחנו רוצים לפתור # y #, למצוא את כל הערכים האפשריים של # y # אשר יש #x, s # ו # c # זה עושה את משוואות בו זמנית #x = cos c, x = sin s, y = s + c # נכון.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

אנו משתמשים בפתרון הכללי שלעיל על שוויון הקוסינים.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # מספר שלם # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

אז אנחנו מקבלים את התוצאה הרבה יותר מעורפל, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(מותר להעיף את השלט # k. #)

הבה נתמקד כעת בערכים העיקריים, אותם אני כותבת באותיות גדולות:

הצג #text {Arc} טקסט {sin} (x) + טקסט {Arc} טקסט {cos} (x) = pi / 2 #

ההצהרה אכן נכונה לגבי הערכים העיקריים שהוגדרו בדרך הרגילה.

הסכום מוגדר רק (עד שאנחנו מקבלים די עמוק לתוך מספרים מורכבים) # -1 le le le 1 # כי הסינים חוקיים cosines נמצאים בטווח זה.

נתבונן בכל צד של המקבילה

# טקסט {Arc} טקסט {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) #

ניקח את הקוסינוס של שני הצדדים.

#cos (טקסט {Arc} טקסט {cos} (x)) = x #

# cos (pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x)) = sin (טקסט {Arc} טקסט {sin} (x)) = x #

אז בלי לדאוג לגבי סימנים או ערכים עיקריים אנו בטוחים

# cos (טקסט {Arc} טקסט {cos} (x)) = cos (pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x)) #

החלק המסובך, החלק הראוי לכבוד, הוא הצעד הבא:

#text {Arc} טקסט {cos} (x) = pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) quad # עדיין לא בטוח

אנחנו צריכים לדרוך בזהירות. בואו ניקח את חיובי ושלילי #איקס# בנפרד.

ראשון # 0 le x le 1 #. כלומר, הערכים העיקריים של שתי פונקציות ההופך את טריג הם ברבע הראשון, בין #0# ו # pi / 2. # מרותק לרבע הראשון, קוסינים שווים מרמזים זוויות שוות, ולכן אנחנו מסיקים #x ge 0, #

#text {Arc} טקסט {cos} (x) = pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) quad #

עכשיו # -1 le x <0. # הערך העיקרי של הסימן ההופכי הוא ברביע הרביעי, וכן עבור #x <0 # אנו בדרך כלל מגדירים את הערך העיקרי בטווח

# - pi / 2 le טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} טקסט {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) le pi #

הערך העיקרי של הקוסינוס ההפוך השלילי הוא הרביע השני, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

אז יש לנו שתי זוויות ברבע השני שהקוסיינים שלו שווים, ואנחנו יכולים להסיק שזוויות שוות. ל #x <0 #, #text {Arc} טקסט {cos} (x) = pi / 2 - טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) quad #

כך או כך, # טקסט {Arc} טקסט {sin} (x) + טקסט {Arc} טקסט {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #