תשובה:
# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
הסבר:
התחל באמצעות כלל הסכום עבור אינטגרלים וחלוקה לשני אינטגרלים נפרדים:
# intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2dx #
הראשון של אלה מיני אינטגרלים נפתרת באמצעות שילוב על ידי חלקים:
תן # u = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# dv = e ^ (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
עכשיו באמצעות שילוב על ידי חלקי הנוסחה # intudv = uv-intvdu #, יש לנו:
# intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
השני הוא מקרה של חוק כוח הפוך, אשר קובע:
# intx ^ ndx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
לכן # (3 + 3) x = 3dx = 3 (x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
לכן, # #xx ^ (2-x) + 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (זכור להוסיף את הקבוע של אינטגרציה!)
אנחנו מקבלים את המצב הראשוני #f (0) = 1 #, לכן:
# 0 = - (0) e ^ (2) (0)) - e ^ (2) (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
ביצוע תחליף סופי זה, אנו מקבלים את הפתרון הסופי שלנו:
# # xx) + 2 x (+ 3x ^ 2dx = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
