איך היית לשלב int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

תשובה:

אינטגרל זה אינו קיים.

הסבר:

מאז #ln x> 0 # במרווח # E, e #, יש לנו

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

כאן, כך הופך את אינטגרל

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

תחליף #ln x = u #, לאחר מכן # dx / x = du # אז זה

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

זהו אינטגרל לא תקין, מכיוון שהאינטגר-סנדג 'מתפצל בגבול התחתון. זה מוגדר כ

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

אם זה קיים. עכשיו

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = ll l #

כי זה מגביל את הגבול #l -> 0 ^ + #, האינטגרל אינו קיים.

תשובה:

# pi / 2 #

הסבר:

אינטגרל # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

תחליף תחילה # u = ln (x) # ו # "d" u = ("d" x) / x #.

כך, יש לנו

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

עכשיו, תחליף # u = חטא (v) # ו # "d" u = cos (v) "d" v #.

לאחר מכן, (x = 1) (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqt (1-sin ^ 2 (v))) d = v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" # מאז # 1-sin = 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

המשך, יש לנו

# (x = 1) ^ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin u _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) (x = 1) = (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #