זוג קוביות הוגנות של שישה צדדים נזרק שמונה פעמים. מצא את ההסתברות כי ציון גדול מ -7 הוא הבקיע לא יותר מחמש פעמים?

תשובה:

#~=0.9391#

הסבר:

לפני שנכנס לשאלה עצמה, בואו נדבר על השיטה לפתרון הבעיה.

נניח, למשל, שאני רוצה להסביר את כל התוצאות האפשריות מן היפוך מטבע הוגן שלוש פעמים. אני יכול לקבל HHH, TTT, TTH, ו HHT.

ההסתברות של H היא #1/2# ואת ההסתברות של T הוא גם #1/2#.

עבור HHH ו TTT, כלומר # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # כל אחד.

עבור TTH ו HHT, זה גם # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # כל אחד, אבל מאז יש 3 דרכים אני יכול להשיג כל תוצאה, זה בסופו של דבר להיות # 3xx1 / 8 = 3/8 # כל אחד.

כשאני מסכם את התוצאות האלה, אני מקבל #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - כלומר, עכשיו יש לי את כל התוצאות האפשריות של היפוך מטבע היוו.

שימו לב שאם אני מגדיר # H # להיות # p # ולכן יש # T # להיות # ~ p #, וגם להבחין שיש לנו קו משולש פסקל #(1,3,3,1)#, הגדרנו טופס של:

# (c = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

וכך בדוגמה זו, אנו מקבלים:

# 1 (C0) (3) (1) 1/2 (0) ^ 2 + C_ (3) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

עכשיו אנחנו יכולים לעשות את הבעיה.

אנחנו מקבלים את מספר לחמניות כמו 8, כך # n = 8 #.

# p # הוא הסכום הגדול מ -7. כדי למצוא את ההסתברות לקבל סכום גדול מ -7, נסתכל על הלחמניות האפשריות:

# ((צבע) לבן () 0 (, ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1,, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, (5, 6, 7, 6, 7, 9, 10), (5, 6, 7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

מתוך 36 אפשרויות, 15 לחמניות לתת סכום גדול מ 36, נותן הסתברות של #15/36=5/12#.

עם # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

אנחנו יכולים לכתוב את כל הסכום של אפשרויות - מ מקבל את כל 8 לחמניות להיות סכום גדול מ 7 כל הדרך עד מקבל את כל 8 לחמניות להיות סכום של 7 או פחות:

# C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ (4) 7) C + (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8) (8) (5) 0 (7/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_

אבל אנחנו מעוניינים לסכם רק את אותם תנאים שיש לנו את הסכום הגדול מ 7 קורה 5 פעמים או פחות:

(+) 7 + C_ (8,5) (5/4/4) C + (5) ^ 5 (^ 5) ^ 6 + C_ (8) (5/12) ^ 1 (5) 7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

תשובה:

#0.93906#

הסבר:

# "אז P תוצאה> 7 = 15/36 = 5/12" #

# # (= 12) k (7/12) ^ (8-k) # #

#"(התפלגות הבינומית)"#

# "עם" C (n, k) = (n!) / (n-k)! k!) "(שילובים)" #

#"לכן, "#

#P "זה קורה לכל היותר 5 פעמים על 8 זריקות" #

# = 1 - P "זה קורה 6, 7, או 8 פעמים על 8 זריקות" #

# 1 (C) (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#