איך מוצאים קירוב ליניארי לשורש (4) (84)?

תשובה:

#root (4) (84) ~ 3.03 #

הסבר:

שים לב ש #3^4 = 81#, אשר קרוב #84#.

לכן #root (4) (84) # הוא קצת יותר גדול #3#.

כדי לקבל קירוב טוב יותר, אנו יכולים להשתמש בקירוב ליניארי, a.k.a. השיטה של ניוטון.

הגדר:

#f (x) = x ^ 4-84 #

לאחר מכן:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

ונתנו אפס משוער # x = a # of #f (x) #, קירוב טוב יותר הוא:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

אז במקרה שלנו, לשים # a = 3 #, קירוב טוב יותר הוא:

(3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

זה כמעט מדויק #4# דמויות משמעותיות, אבל בואו לצטט את קירוב כמו #3.03#

תשובה:

#root (4) (84) ~ 3.02778 #

הסבר:

שים לב כי קירוב ליניארי ליד נקודה # a # ניתן לתת על ידי:

#f (x) ~ f f (a) + f '(a) (x-a) #

אם ניתנה: #f (x) = root (4) (x) #

ואז בחירה מתאימה # a # יהיה # a = 81 # כי אנחנו יודעים #root (4) 81 = 3 # בדיוק וזה קרוב #84#.

לכן:

#f (a) = f (81) = שורש (4) (81) = 3 #

כמו כן;

#f (x) = x ^ (1/4) # לכן # 4 (x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 (4root (4) (x) ^ 3) #

(1) (1) (1) (1) (4)

לכן אנו יכולים להתקרב (קרוב #81#):

#f (x) ~ f f (a) + f '(a) (x-a) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) # #

לכן:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

הערך המדויק יותר הוא #3.02740#

כך קירוב ליניארי הוא קרוב למדי.

תשובה:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

הסבר:

אנחנו יכולים לומר שיש לנו פונקציה של #f (x) = root (4) (x) #

ו # root (4) (84) = f (84) #

עכשיו, בואו למצוא את נגזרת של הפונקציה שלנו.

אנו משתמשים בכללי הכוח, הקובעים שאם #f (x) = x ^ n #, לאחר מכן #f '(x) = nx ^ (n-1) # איפה # n # הוא קבוע.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) # #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

עכשיו, כדי משוער # root (4) (84) #, אנחנו מנסים למצוא את הכוח הרביעי המושלם ביותר ל -84

בוא נראה…

#1#

#16#

#81#

#256#

אנחנו רואים ש #81# הוא הקרוב ביותר שלנו.

כעת אנו מוצאים את הקו המשיק של הפונקציה שלנו מתי # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) # #

=>#f '(81) = 1/108 #

זה המדרון שאנחנו מחפשים.

ננסה לכתוב את המשוואה של הקו המשיק בצורתו # y = mx + b #

ובכן, מה זה # y # שווה מתי # x = 81 #?

בוא נראה…

#f (81) = root (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

לכן, יש לנו עכשיו:

# 3 = m81 + b # אנו יודעים כי המדרון, #M#, J #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # עכשיו אנחנו יכולים לפתור # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

לכן, המשוואה של הקו המשיק הוא # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

עכשיו אנחנו משתמשים 84 במקום #איקס#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3.02bar7 #

לכן, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #