מהו שטח המלבן הגדול ביותר שניתן לרשום באליפסה: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

תשובה:

#A = 12 #

הסבר:

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 שווה x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

ניתן להציב את הבעיה כ:

מצא Max # xy # או מקביל # x ^ 2y ^ 2 # כך ש

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Ieties עכשיו #X = x ^ 2, Y = y ^ 2 # הבעיה שווה ל

למצוא #max (X * Y) # בכפוף # X / 4 + Y / 9 = 1 #

Lagrangian לקביעת נקודות נייחות הוא

# L (X, Y, lambda) = X + Y למבדה (X / 4 + Y / 9-1) #

התנאים סטציונריות הם

#grad L (X, Y, lambda) = vec 0 #

או

# (lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0): #

פתרון עבור # X, Y, lambda # נותן

# {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} #

לכן # {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12 #