שאלה # bfe81

תשובה:

# (l + x) + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ ^ (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

הסבר:

אנו מכירים את סדרת Maclaurin הבאה #ln (x + 1) #:

# nn (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ ^ (-1) ^ (n + 1) / nx = n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

אנחנו יכולים למצוא סדרה עבור #ln (x ^ 2 + 1) # על ידי החלפת כל #איקס#עם # x ^ 2 #:

# nn (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

עכשיו אנחנו יכולים פשוט לחלק # x ^ 2 # כדי למצוא את הסדרה שאנחנו מחפשים:

# (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

(n = 1) ^ (n + 1) / n = x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ ^ (n) = (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = x ^ (2-2) -x ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … = #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

שהיא הסדרה שחיפשנו.