שאלה # 69feb

תשובה:

שורה נורמלית: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. קו משיק: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

הסבר:

עבור אינטואיציה: תארו לעצמכם את הפונקציה #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # מתאר את גובהו של שטח כלשהו, היכן #איקס# ו # y # הם קואורדינטות במישור #ln (y) # הוא ההנחה שהוא הלוגריתם הטבעי. ואז הכל # (x, y) # כך ש #f (x, y) = a # (גובה) שווה כמה קבוע # a # נקראים עקומות ברמה. במקרה שלנו גובה קבוע # a # הוא אפס, מאז #f (x, y) = 0 #.

ייתכן שאתה מכיר מפות טופוגרפיות, שבהן הקווים הסגורים מציינים קווים בגובה שווה.

עכשיו שיפוע # (x) x (y) x (y) x (y) x (y) x (x) # נותן לנו את הכיוון בנקודה # (x, y) # שבו #f (x, y) # (הגובה) משנה את המהירות. זה ישר או ישר במורד הגבעה, כל עוד השטח שלנו הוא חלק (ניתן להבדיל), ואנחנו לא על גבי, בתחתית או על רמה (נקודה קיצונית). זהו למעשה את הכיוון הרגיל לעקומה של גובה קבוע, כך שב # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

# e, 2, e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) # #.

לכן, שורה נורמלית בכיוון הזה עובר # (2, e ^ 2) # יכול להיות מתואר

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, איפה #s in mathbbR # הוא פרמטר אמיתי. אתה יכול לחסל # s # להביע # y # כתפקוד של #איקס# אם אתה מעדיף, למצוא

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

נגזרת כיוונית בכיוון המשיק חייב להיות #0# (כלומר הגובה אינו משתנה), כך וקטור משיק # (u, v) # חייב לספק

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, איפה # cdot # פירושו מוצר נקודה. לכן # (u, v) = (1, e ^ 2) # היא בחירה אחת תקפה. לכן, קו משיק עובר # (2, e ^ 2) # יכול להיות מתואר

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

פתרון עבור # y # נותן את זה

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

אתה צריך סוף סוף לבדוק את זה # (2, e ^ 2) # שקרים על העקומה #f (x, y) #, על הקו המשיק, ועל הקו הרגיל.