כיצד לשלב sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

תשובה:

(+ + 2x) / dx = sinh (2cosh ^ -1) (x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 (x + 2) / 2) + C #

הסבר:

מאז קל יותר להתמודד עם אחד בלבד #איקס# תחת שורש ריבועי, אנחנו משלימים את הכיכר:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#intx sqrt (x + 2) ^ 2-4) dx #

עכשיו אנחנו צריכים לעשות תחליף trigonometric. אני הולך להשתמש פונקציות טריב היפרבולי (כי אינטגרל נפרד בדרך כלל לא מאוד נחמד). אנו רוצים להשתמש בזהות הבאה:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

כדי לעשות זאת, אנחנו רוצים # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. אנחנו יכולים לפתור #איקס# כדי לקבל איזה תחליף אנו זקוקים לו:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

כדי להשתלב ביחס # theta #, אנחנו צריכים להכפיל על ידי נגזרת של #איקס# לגבי # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int = sqrt (x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt (2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta =

# = 2int sqrt (4 cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (תטא) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta =

עכשיו אנחנו יכולים להשתמש בזהות # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

עכשיו אנחנו משתמשים בזהות:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) # #

# 4 / 2int cush (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

אנחנו יכולים לעשות תחליף u מפורש עבור # 2cosh (2theta) #, אבל זה די ברור כי התשובה היא #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

עכשיו אנחנו צריכים לבטל את החלפה. אנחנו יכולים לפתור # theta # להשיג:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) # #

זה נותן:

# (x + 2) / 2) + C # (+ x + 2) / +

כיצד לשלב int x ^ lnx?

(= 1/4) x = n = (x) + dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C אנחנו מתחילים עם u- החלפת עם u = ln (x). לאחר מכן אנו מתחלקים על ידי נגזרת של u כדי להשתלב ביחס ל- u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du עכשיו אנחנו צריכים לפתור x = u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du אתה יכול לנחש כי אין זה אנטי-נגדי אלמנטרי, ואתה תהיה צודק. אנו יכולים להשתמש בטופס עבור פונקציית השגיאה הדמיונית, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx כדי לקבל את האינטגרל שלנו בצורה זו, ייתכן שיש לנו רק משתנה אחד בריבוע (u + 1/2) ^ 2 + ku ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k

כיצד לשלב (x ^ 2-9) ^ (3/2) dx?

נפתרה! x / 3/4 sqr (x ^ 2-9) -45 / 8x sqrt (x ^ 2-9) + 243 / 8ln (x + sqrt (x ^ 2-9)) להשתמש בנוסחת הפחתה או באינטגרציה על ידי חלקים כדי לשלב (שניות u) ^ 5

כיצד לשלב int e ^ x sinx cxx dx?

(2x) + 2 xx / 5cos (2x) + C ראשית אנו יכולים להשתמש בזהות: 2sinthetacostheta = sin2x אשר נותן: int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx עכשיו אנו יכולים להשתמש באינטגרציה על ידי חלקים. הנוסחה היא: int f (x) g (x) dx = f (x) g (x) -int f '(x) g (x) dx אני אתן f (x) = sin ( 2x) ו- g '(x) = e ^ x / 2. החלת הנוסחה, אנו מקבלים: int e ^ x / 2sin (2x) dx = חטא (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx עכשיו אנחנו יכולים להחיל אינטגרציה על ידי חלקים שוב (x) = cx (2x) ו- g (x) = e ^ x: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos ( (2x) ex x-int (2x) e x x / 2-cos (2x) e ^ x- 2int חטא (2x) e ^ x dx עכשיו יש לנו את