יש לנו חצי צילינדר גג של רדיוס r ו R גובה רכוב על גבי ארבעה קירות מלבניים גובה גובה. יש לנו 200-200 m ^ 2 של גיליון פלסטיק לשמש בבניית מבנה זה. מהו הערך של r המאפשר נפח מרבי?

תשובה:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

הסבר:

תן לי להציג מחדש את השאלה כפי שאני מבין את זה.

בתנאי שטח השטח של אובייקט זה הוא # 200pi #, למקסם את עוצמת הקול.

תוכנית

לדעת את פני השטח, אנו יכולים לייצג גובה # h # כפונקציה של רדיוס # r #, אז נוכל לייצג את עוצמת הקול כפונקציה של פרמטר אחד בלבד - רדיוס # r #.

פונקציה זו צריכה להיות מוגברת באמצעות # r # כפרמטר. זה נותן את הערך של # r #.

שטח פני השטח כולל:

4 קירות המרכיבים משטח צדדי של מקבילות עם מסגרת של בסיס # 6r # ואת גובה # h #, אשר יש שטח כולל של # 6rh #.

1 גג, חצי משטח צדדי של גליל רדיוס # r # ואת hight # r #, כי יש שטח של #pi r ^ 2 #

2 הצדדים של הגג, semicircles של רדיוס # r #, שטחו הכולל #pi r ^ 2 #.

שטח השטח הכולל שנוצר של אובייקט הוא

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

בידיעה זו להיות שווה ל # 200pi #, אנו יכולים להביע # h # במונחים של # r #:

# 6rh + 2pir ^ ^ ^ = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

נפח של אובייקט זה יש שני חלקים: מתחת לגג ובתוך הגג.

מתחת לגג יש לנו מקביל עם השטח של הבסיס # 2r ^ 2 # ואת גובה # h #, כי הוא נפח שלה

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

בתוך הגג יש לנו חצי גליל עם רדיוס # r # ואת גובה # r #, הנפח שלה הוא

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

אנחנו צריכים למקסם את הפונקציה

#V (+) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ ^ 3 #

זה נראה ככה (לא בקנה מידה)

גרף {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

פונקציה זו מגיעה למקסימום שלה כאשר זה נגזרת שווה אפס לטיעון חיובי.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

באזור של #r> 0 # זה שווה לאפס מתי # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

זהו רדיוס שנותן את הנפח הגדול ביותר, בהתחשב משטח השטח צורה של אובייקט.