מה הם טעויות נפוצות התלמידים עם אליפסות בצורה סטנדרטית?

טופס רגיל עבור אליפסה (כפי שאני מלמד אותו) נראה כמו: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) הוא המרכז.

המרחק "a" = כמה רחוק ימינה / שמאלה כדי לעבור מהמרכז כדי למצוא את נקודות הקצה האופקי.

המרחק "b" = כמה רחוק / למטה כדי לנוע מהמרכז כדי למצוא את נקודות הקצה האנכי.

אני חושב שלעתים קרובות תלמידים יחשבו כך בטעות # a ^ 2 # הוא כמה רחוק להתרחק מהמרכז כדי לאתר את נקודות הקצה. לפעמים, זה יהיה מרחק גדול מאוד לנסוע!

כמו כן, אני חושב לפעמים תלמידים בטעות להעביר למעלה / למטה במקום ימין / שמאל בעת החלת נוסחאות אלה לבעיות שלהם.

הנה דוגמה לדבר על:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

המרכז הוא (1, -4). אתה צריך לזוז ימינה ושמאלה "A" = 2 יחידות כדי לקבל את נקודות הקצה האופקי ב (3, -4) ו (-1, -4). (ראה תמונה)

אתה צריך לעבור למעלה ולמטה "b" = 3 יחידות כדי לקבל את endpoints אנכי ב (1, -1) ו (1, -7). (ראה תמונה)

מכיוון ש <b, הציר המרכזי יהיה בכיוון האנכי.

אם a> b, הציר המרכזי ילך בכיוון האופקי!

אם אתה צריך למצוא כל מידע אחר על אליפסות, לשאול שאלה אחרת!

(בלבול אם # a # ו # b # מייצגים את הרדיא העיקרי / קטין, או #איקס#- & # y #-ראדי)

נזכיר כי טופס סטנדרטי עבור אליפסה מרוכז במקור J

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

כבר עכשיו, כמה ייקח בחשבון את הנוסחה המפורטת לעיל. כמה בתי ספר של המחשבה מחזיקים בכך # a # צריך תמיד להיות גדול מ # b # ובכך מייצגים את אורך הרדיוס הגדול (גם אם הרדיוס העיקרי טמון בכיוון האנכי, ובכך מאפשר # y ^ 2 / a ^ 2 # במקרה כזה), בעוד אחרים טוענים כי היא תמיד מייצגת את #איקס#-רדיוס (גם אם #איקס#רדיוס הוא הרדיוס הקטן).

אותו הדבר נכון # b #, אם כי הפוך. (כלומר, יש הסבורים כך # b # צריך תמיד להיות רדיוס קטן, ואחרים מאמינים כי זה תמיד צריך להיות # y #- רדיוס).

ודא שאתה יודע איזו שיטה המדריך שלך (או את התוכנית אתה משתמש) מעדיף. אם אין העדפה חזקה קיימת, אז פשוט להחליט בעצמך, אבל להיות עקבי עם ההחלטה שלך. שינוי דעתך במחצית הדרך באמצעות המטלה יעשה דברים לא ברורים, ושינוי דעתך במחצית הדרך בעיה רק יוביל לטעויות.

(רדיוס / בלבול ציר)

רוב השגיאות ב אליפסות נראה תוצאה של בלבול זה אשר הרדיוס הוא העיקרי אשר הוא קטין. טעויות אפשריות אחרות יכולות להתעורר אם אחד מבלבל את הרדיוס העיקרי עם ציר מרכזי (או רדיוס קטין עם הציר הזעיר). הציר המרכזי (או הקטין) שווה לשתי הרדיוסים העיקריים (או הקטנים), שכן זהו הקוטר העיקרי (או הקטין). בהתאם לשלב שבו מתרחשת בלבול זה, זה יכול להוביל טעויות חמורות בקנה מידה של אליפסה.

(רדיוס / רדיוס מבולבל)

טעות דומה מתרחשת כאשר תלמידים שוכחים כי המכנים (# a ^ 2, b ^ 2 #) הם הריבועים של רדיוס, ולא רדיוס עצמם. זה לא נדיר לראות סטודנט עם בעיה כגון # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # לצייר אליפסה עם #איקס#- רדיוס 9 # y #- יתר על כן, זה יכול להתרחש יחד עם הטעות לעיל (מבלבל את רדיוס עבור קוטר), המוביל לתוצאות כגון סטודנט עם משוואה לעיל ציור אליפסה עם קוטר 9 (ולכן רדיוס גדול 4.5) במקום הקוטר העיקרי הנכון 6 (ורדיוס גדול 3).

(היפרבולה ו אליפסה בלבול) אזהרה: התשובה היא ארוכה למדי

טעות נפוצה יחסית מתרחשת אם אחד זוכר את הנוסחה של האליפסה. באופן ספציפי, הנפוץ ביותר של שגיאות אלה נראה להתרחש כאשר אחד מבלבל את הנוסחה עבור אליפסות עם זה עבור hyperbolas (אשר, זוכר, הוא # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # או # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # עבור אלה הממוקמים במקור, שוב בכפוף מוסכמות ציר תיוג המפורטות לעיל). לשם כך, זה עוזר לזכור את ההגדרה של אליפסות hyperbolas כמו סעיפים חרוט.

באופן ספציפי, לזכור כי אליפסה הוא מוקד של נקודות הקשורות לשני מוקדים # f_1 & f_2 # הממוקם לאורך ציר מרכזי כך, עבור נקודה שרירותית # p # על לוקוס, המרחק מ # p # ל # f_1 # (מסומן # d_1 #) בתוספת המרחק מ # p # ל # f_2 # (מסומן # d_2 #) שווה פי שניים לרדיוס הגדול (כלומר, אם # a # הוא רדיוס גדול, # d_1 + d_2 = 2a #). יתר על כן, המרחק מהמרכז לאחת מהמקומות הללו (לפעמים נקרא הפרדה למחצה או אקצנטריות ליניארית), בהנחה # a # הוא הרדיוס העיקרי, שווה ל #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

לעומת זאת, היפרבולה היא מוקד של נקודות הקשורות לשני מוקדים באופן כזה, עבור נקודה # p # על המקום, הערך המוחלט של ההבדל המרחק בין הנקודה למיקוד הראשון ומרחק הנקודה למיקוד השני שווה ל -2 פעמים ברדיוס הגדול (כלומר, # a # רדיוס גדול, # | d_1 - d_2 | = 2a #). יתר על כן, המרחק ממרכז ההיפרבולה לאחת מהמקומות הללו (שוב, לפעמים נקראת אקסצנטריות ליניארית, ועדיין בהנחה # a # רדיוס גדול) שווה ל #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

התייחסות להגדרת סעיפים חרוט, הכולל אקסצנטריות # e # של סעיף קובע אם הוא מעגל (# e = 0 #), אליפסה (# 0 <e <1 #), פרבולה (# e = 1 #), או היפרבולה (#e> 1 #). עבור אליפסות ו hyperbolas, ניתן לחשב את אקסצנטריות כמו היחס של אקסצנטריות ליניארית לאורך הרדיוס העיקרי; ולכן, עבור האליפסה זה יהיה #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (ולכן בהכרח פחות מ 1), ועל היפרבולה זה יהיה #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (ולכן בהכרח גדול מ 1).