מה הם כל הערכים עבור k אשר int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) # #

ו

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # אבל

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # ו

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # לכן

# k ^ 2-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

או

# (k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), k = 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0): #

ואז לבסוף

- ערכים ריאליים #k = {-2,2} #

ערכים מורכבים #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

תשובה:

# k = + - 2 #

הסבר:

אנו דורשים:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

שילוב אנחנו מקבלים:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 צבע (לבן) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2 (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

בהנחה ש #k RR # (יש למעשה #6# שורשים, #4# אשר מורכבים)

עכשיו, בהתאם להקשר של הבעיה, אפשר לטעון כי #k <2 # (כלומר # k = -2 #) אינו חוקי #k> = 2 # כדי להפוך את הפנימי "ראוי" ובכך להוציא את הפתרון הזה, אבל ללא כל הקשר סביר לכלול את שני הפתרונות.

כמו כן, שים לב #k = + - 2 # יכול להיות פתרונות ללא ביצוע למעשה כל אינטגרציה.

ראשית, תכונה של אינטגרלים מוגדרים היא:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

כדי שנוכל להקים מיד # k = 2 # הוא פתרון.

שנית, # x ^ 5 # הוא מוזר פונקציה, פונקציות מוזרות לספק:

# f (-x) = f (x) #

ויש להם סימטריה סיבובית על המקור. ככזה, אם #f (x) # הוא מוזר אז:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

כדי שנוכל להקים מיד # k = -2 # הוא פתרון.

אינטגרציה החישובים הבאים לעשות זאת להוכיח כי אלה הם הפתרונות היחידים!