מדוע השורש הריבועי של 5 מספר לא רציונלי?

תשובה:

ראה הסבר …

הסבר:

הנה סקיצה של הוכחה על ידי סתירה:

נניח #sqrt (5) = p / q # עבור כמה מספרים שלמים וחיוביים # p # ו # q #.

ללא אובדן של הכלליות, אנו עשויים להניח את זה #p, q # הם המספרים הקטנים ביותר.

ואז בהגדרה:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

הכפל את שני הקצוות על ידי # q ^ 2 # להשיג:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

לכן # p ^ 2 # הוא מתחלק על ידי #5#.

ואז מאז #5# הוא ממשלה, # p # חייב להיות מתחלק על ידי #5# מדי.

לכן #p = 5m # עבור מספר שלם חיובי #M#.

אז יש לנו:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

מחלקים את שני הקצוות #5# להשיג:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

מחלקים את שני הקצוות # m ^ 2 # להשיג:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

לכן #sqrt (5) = q / m #

עכשיו #p> q> m #, לכן #q, m # הוא זוג קטן יותר של מספרים שלמים אשר מנה #sqrt (5) #, סותר את ההשערה שלנו.

אז ההשערה שלנו #sqrt (5) # יכול להיות מיוצג על ידי # p / q # עבור מספר שלם # p # ו # q # הוא שקר. זה, #sqrt (5) # אינו הגיוני. זה, #sqrt (5) # הוא לא רציונלי.