איך אתה פותר arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

תשובה:

# x = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

הסבר:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

התחל על ידי מתן # alpha = arcsin (x) "" # ו # "" ביתא = arcsin (2x) #

#color (שחור) אלפא # ו #color (black) beta # באמת רק לייצג זוויות.

אז יש לנו: # אלפא + ביתא = pi / 3 #

# => חטא (אלפא) = x #

#cos (alpha) = sqrt (1-sin ^ 2 (alpha)) = sqrt (1-x ^ 2) #

באופן דומה, #sin (ביתא) = 2x #

# sqos (beta) = sqrt (1-sin = 2 (beta)) = sqrt (1 - 2x) ^ 2 = = sqrt (1-4x ^ 2) #

#צבע לבן)#

לאחר מכן, שקול

# אלפא + ביתא = pi / 3 #

# => cos (אלפא + ביתא) = cos (pi / 3) #

# = cos (alpha) cos (ביתא) -סין (אלפא) חטא (ביתא) = 1/2 #

# => sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2x) = 1/2 #

# => sqrt (1-4x ^ 2-x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

עכשיו ליישם את הנוסחה ריבועית המשתנה # x ^ 2 #

# = - + + x = 2 = (+ 28) -sqrt (784 + 384) / 64 = (+ 28) -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / 16 #

# => x = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#צבע לבן)#

במקרים שנכשלו:

#color (אדום) ((1) ".." ##x = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) # #

היא לדחות כי הפתרון מורכב # inZZ #

#color (אדום) ((2) ".." ## x = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

נדחית משום שהפתרון הוא שלילי. ואילו # pi / 3 # הוא חיובי.