נניח שיש לך trailing עם הצדדים: a, b ו- c. באמצעות משפט pythagorean מה אתה יכול להסיק את אי השוויון הבא? i) ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ii) a ^ 2 + b ^ 2 lt c ^ 2 iii) a ^ 2 + b ^ 2 gt c ^ 2

תשובה:

אנא ראה להלן.

הסבר:

(אני) כפי שיש לנו # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, כלומר סכום הריבועים של שני הצדדים # a # ו # b # שווה לריבוע בצד השלישי # c #. לפיכך, # / _ C # הצד הנגדי # c # יהיה זווית ישרה.

נניח, זה לא כך, ואז לצייר מאונך מ # A # ל # BC #, תן לזה להיות # C '#. עכשיו על פי משפט פיתגורס, # a ^ 2 + b ^ 2 = (AC ') ^ 2 #. לפיכך, # AC '= c = AC #. אבל זה לא אפשרי. לפיכך, # / _ ACB # היא זווית ישרה ו #Delta ABC # הוא משולש זווית ישרה.

הבה נזכור את הנוסחה הקוסינוסית למשולשים, הקובעת זאת # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.

(ii) כמו טווח של # / _ C # J # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, אם # / _ C # הוא אטום # cosC # הוא שלילי ומכאן # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | cosC | #. לפיכך, # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # אומר # / _ C # הוא אטום.

תן לנו להשתמש Pythagoras משפט לבדוק את זה ולצייר # דלתא # עם # / _ C> 90 ^ @ # וצייר # AO # בניצב על המורחבת # BC # כפי שמוצג. עכשיו לפי משפט פיתגורס

# a ^ 2 + b ^ 2 = BC = 2 + AC ^ 2 #

= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #

= # AB ^ 2-2OCxxBC = c ^ 2-OCxxBC #

לפיכך # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #

(iii) ואם # / _ C # הוא חריף # cosC # הוא חיובי ומכאן # c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab | cosC | #. לפיכך, # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # אומר # / _ C # הוא חריף.

שוב באמצעות משפט Pythagoras לבדוק את זה, לצייר # דלתא # עם # / _ C <90 ^ @ # וצייר # AO # בניצב # BC # כפי שמוצג. עכשיו לפי משפט פיתגורס

# a ^ 2 + b ^ 2 = BC = 2 + AC ^ 2 #

= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #

= # c ^ 2 + 2axx #

לפיכך # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #