שני הצדדים של המשולש הם 6 מ 'ו 7 מ' אורך והזווית ביניהם עולה בשיעור של 0.07 rad / s. איך אתה מוצא את קצב שבו השטח של המשולש גדל כאשר הזווית בין הצדדים של אורך קבוע הוא pi / 3?

השלבים הכוללים הם:

צייר משולש בקנה אחד עם המידע נתון, תיוג מידע רלוונטי
לקבוע אילו נוסחאות הגיוניות במצב (שטח המשולש כולו מבוסס על שני הצדדים באורך קבוע, וכן טריג היחסים של המשולשים הנכונים עבור גובה משתנה)
קשר כל המשתנים הלא ידועים (גובה) בחזרה למשתנה # (theta) # אשר מתאים לשיעור נתון בלבד # ((d theta) / (dt)) #
לעשות כמה תחליפים לתוך הנוסחה "העיקרי" (נוסחת האזור), כך שתוכל לצפות באמצעות שיעור נתון
להבחין ולהשתמש שיעור נתון כדי למצוא את שיעור אתה מכוון # ((dA) / (dt)) #

בואו נכתוב את המידע שניתן באופן רשמי:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" #

אז יש לך שני הצדדים באורך קבוע זווית ביניהם. האורך השלישי הוא ערך משתנה, אבל זה מבחינה טכנית לא רלוונטי אורך. מה שאנחנו רוצים זה # (dA) / (dt) #. אין שום אינדיקציה לכך שזה משולש ימין, עם זאת, אז בואו נתחיל בהנחה שזה לא כרגע.

משולש עקבי תיאורטית הוא:

זכור כי זה לא מייצג באופן יחסי של המשולש האמיתי. השטח של זה ניתן למצוא בקלות רבה ביותר עם:

#A = (B * h) / 2 #

שבו הבסיס שלנו הוא כמובן #6#. מה זה # h #, למרות? אם אנו מציירים קו הפרדה אנכית מהקצה למטה עד הבסיס, יש לנו באופן אוטומטי משולש ימין בצד שמאל של המשולש הכולל, ללא קשר מאורך הצד #איקס#:

עכשיו אנחנו לעשות יש משולש ימין. שימו לב, עם זאת, כי נוסחת האזור שלנו יש # h # אבל לא # theta #, ואנחנו רק יודעים # (d theta) / (dt) #. לכן, אנחנו צריכים לייצג # h # במונחים של זווית. בידיעה כי הצד היחיד הידוע על המשולש הימני משמאל הוא #7#- צד מואר:

#sintheta = h / 7 #

# 7sintheta = h #

עד כה, יש לנו:

# (d theta) / (dt) = "0.07 rad / s" # (1)

#A = (Bh) / 2 # (2)

# 7sintheta = צבע (ירוק) (h) # (3)

אז, אנחנו יכולים לחבר (3) לתוך (2), להבדיל (2) ו מרוכזת לרכוש # (d theta) / (dt) #, ואת תקע (1) לתוך (2) פתרוןI # (dA) / (dt) #, המטרה שלנו:

#A = (6 * צבע (ירוק) (7sintheta)) / 2 = 21sintheta #

#color (כחול) (dA) / (dt)) = 21costheta ((d theta) / (dt)) #

# = 21costheta ("0.07 rad / s") #

לבסוף, ב #theta = pi / 3 #, יש לנו #cos (pi / 3) = 1/2 # you

# = 10.5 (0.07) = צבע (כחול) ("0.735 u" ^ 2 "/ s") #

(שים לב ש #6*7# פירושו היחידות הופכות # "u" * "u" = "u" ^ 2 #, ו #2# הוא לא צד בצד ולכן לא היו יחידות. כמו כן, # "rad" # נחשב בדרך כלל להשאר בחוץ, כלומר. # "rad / s" => "1 / s" #)

הגובה של המשולש עולה בקצב של 1.5 ס"מ לדקה ואילו השטח של המשולש גדל בקצב של 5 ס"מ מרובע / דקות. באיזה קצב הוא הבסיס של המשולש שינוי כאשר גובה הוא 9 ס"מ והאזור הוא 81 ס"מ מרובע?

זוהי בעיה קשורה (שינוי) סוג הבעיה. המשתנים המעניינים הם גובה = A = שטח, ומאחר ששטח המשולש הוא A = 1 / 2ba, אנחנו צריכים b = בסיס. שיעורי השינוי הנתון הם ביחידות לדקה, כך שהמשתנה העצמאי (הבלתי נראה) אינו t = time in minutes. אנו מקבלים: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min ואנחנו מתבקשים למצוא (db) / dt כאשר A = 9 ס"מ ו- A 81 ס"מ "" ^ ^ 2 = 1 / 2ba, הבדל ביחס t, אנחנו מקבלים: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). נצטרך את הכלל המוצר בצד ימין. (dA) / dt = 1/2 (db) / dt + 1 / 2b (da) / dt קיבלנו כל ערך למעט db / dt (שאנו מנסים למצוא) ו- b. באמצעות הנוסחה עבור האזור ואת הערכים הנתון של

אורך המלבן עולה על 4 ס"מ. אם אורך הוא גדל ב 3 ס"מ ואת רוחב הוא גדל ב 2 ס"מ, השטח החדש עולה על השטח המקורי על ידי 79 מ"ר. איך מוצאים את הממדים של המלבן הנתון?

13 ס"מ ו- 17 ס"מ x ו- x + 4 הם הממדים המקוריים. x + 2 ו- x + 7 הם המידות החדשות x (x + 4) + 79 = (x + 2) (x + 7) x ^ 2 + 4x + 79 = x ^ 2 + 7x + 2x + 14 x ^ 2 + 4x + 79 = x ^ 2 + 9x + 14 4x + 79 = 9x + 14 79 = 5x + 14 65 = 5x x 13

מים דולפים מתוך מיכל חרוט הפוך בקצב של 10,000 cm3 / min באותו זמן מים נשאבים לתוך הטנק בקצב קבוע אם הטנק יש גובה של 6 מטר ואת הקוטר בראש הוא 4 מ 'ו אם מפלס המים עולה בקצב של 20 ס"מ לדקה כאשר גובה המים הוא 2m, איך אתה מוצא את קצב שבו המים נשאבים לתוך הטנק?

תן V להיות נפח המים במיכל, ב ס"מ 3; תן להיות עומק / גובה של מים, ס"מ; ולתת r להיות רדיוס של פני המים (על גבי), ס"מ. מכיוון שהטנק הוא חרוט הפוך, כך גם מסת המים. מכיוון שהטנק בעל גובה של 6 מ 'ורדיוס בחלק העליון של 2 מ', משולשים דומים מרמזים על כך frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 כך ש- h = 3r. נפח קונוס המים ההופך הוא V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. כעת יש להפריד בין שני הצדדים ביחס לזמן t (בדקות) כדי לקבל את frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (כלל השרשרת משמש שלב). אם V_ {i} הוא נפח המים שנשפך פנימה, לאחר מכן frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot ( frac {200