שאלה # f8e6c

תשובה:

להביע אותו כסדרה גיאומטרית כדי למצוא את הסכום #12500/3#.

הסבר:

בואו נביע את זה כסכום:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

מאז #1.12=112/100=28/25#, זה שווה ל:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

באמצעות העובדה כי # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, יש לנו:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

כמו כן, אנו יכולים למשוך את #500# מתוך שלט הסיכום, כך:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

ללא שם: בסדר, עכשיו מה זה? ובכן, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # הוא מה שידוע בתור סדרה גיאומטרית. סדרה גיאומטרית כרוכה במעריך, וזה בדיוק מה שיש לנו כאן. הדבר המדהים על סדרה גיאומטרית כמו זה הוא אחד שהם מסכמים # r / (1-r) #, איפה # r # הוא היחס הנפוץ; כלומר המספר שגויס למעריך. במקרה הזה, # r # J #25/28#, כי #25/28# הוא מה שעלה למעריך. (הערת שוליים: # r # חייב להיות בין #-1# ו #1#, אחרת הסדרה לא מסתכמת בשום דבר.)

לפיכך, סכום הסדרה הוא:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

זה עתה גילינו את זה #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, אז הדבר היחיד שנותר הוא להכפיל את זה על ידי #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

אתה יכול למצוא עוד על הסדרה הגיאומטרית כאן (אני ממליץ לך לצפות בסדרה כולה חאן האקדמיה יש על סדרה גיאומטרית).