השתמש ב- a) ו- b כדי להוכיח hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

מכל מה שאתה אומר שם למעלה, כל מה שנראה כאילו אנחנו אמורים לעשות זה להראות את זה #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. נראה כמו כל מקום יש לך את השאלה הזאת הוא מבולבל לגבי ההגדרה של # hatT_L #.

אנו בסופו של דבר להוכיח כי השימוש

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

נותן

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

ו לא #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. אם אנחנו רוצים שהכל יהיה עקבי, אז אם #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, זה חייב להיות כך # hatD, hatx = bb (-1) #. אני כבר תיקנתי את השאלה ופניתי לזה כבר.

מחלק 1, הראינו כי עבור הגדרה זו (כי #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

מאז #f (x_0 - L) # הוא eigenstate של # hatT_L #, את הטופס המיידי שעולה על הדעת הוא מפעיל מעריכי # e ^ (LhatD) #. אנחנו intuit זה #hatD = ihatp_x // ℏ #, ונראה שזה נכון.

נזכיר כי בהוכחה שמוצג בחלק 1, כתבנו:

# htx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

וזה המקום שבו נצטרך להשתמש בו. כל שעלינו לעשות הוא טיילור מתרחב מפעיל אקספוננציאלי ולהראות כי ההוכחה לעיל עדיין מחזיק.

זה מוצג גם בפירוט קל כאן. הרחבתי את זה כדי להיות יסודית יותר …

(n =) (n) = n = (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (n =) (n = hatD) ^ n #

תן את זה # L # הוא קבוע, אנחנו יכולים גורם זה מתוך commutator. # hatx # יכול להיכנס, לא להיות תלויי אינדקס. לכן:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

עכשיו, הצענו את זה #hatD = ihatp_x // ℏ #, וזה יהיה הגיוני כי אנחנו יודעים כי:

# (hxx, htp_x) f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

(dx) (dx) + dx) + ixx (df) / dx) + iℏf (x) #

אז זה # hatx, hatp_x = iℏ #. משמעות הדבר היא כי כל עוד #hatT_L = e ^ (LhatD) #, אנו יכולים סוף סוף לקבל הגדרה עקבית על פני שני חלקי הבעיה ולקבל:

#color (כחול) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx # #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx # =

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = צבע (כחול) (1) #

מכאן אנו מרחיבים עוד יותר את הקומיטאטור:

# htx, e ^ (ixp_xL // ℏ) = = n = (n = 0) ^ (1) (1) (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# (n =) (n = 0) ^ (oo) {1 / n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

עכשיו, אנחנו יודעים # hatx, hatp_x #, אבל לא בהכרח # hatx, hatp_x ^ n #. אתה יכול לשכנע את עצמך

# (dx n) (dx ^ n) + d (n) (x) x (x)) #

וזה

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# d n = d dx ^ n = (= i =) n (d ^ n) / dx ^ n #

אז זה:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# (x = cdot (-ii) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# (d = nf) / dx ^ n) + n (d ^ (n-1) (n = 1) f) / (dx ^ (n-1))) #

- d (n = 1) - n (d = nf) / dx ^ n) - n (d = n) f) / (dx ^ (n-1))} #

# (n = 1) (- i) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# (n = 1) (n-1) (d ^ (n-1)) (dx ^ (n-1)) f (x) #

אנו מכירים בכך # (n-1) = (n-1) = (n-1) (d-n (1)) (dx ^ (n-1) # #. לפיכך,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) # #, בתנאי #n> = 1 #.

מכאן אנו מוצאים:

# (hex), "e ^ (i n n) = hatx, (ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# (n =) (n = 1) ^ (oo) {1 / n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

איפה אם אתה מעריך את #n = 0 # לטווח ארוך, אתה צריך לראות את זה הולך לאפס, אז אנחנו השמיט את זה. בהמשך, יש לנו:

(n = 1) ^ (n) (n / n!) (iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) # #

# (iL) / ℏ) ^ (n-1) ((1) (iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

כאן אנחנו פשוט מנסים לעשות את זה נראה כמו פונקציה מעריכית שוב.

# (ilp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / (n-1)! # # (iL) / ℏ) sum_ (n = 1)

(במונחים קבוצתיים)

# (-I-l sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / (n-1)!) #

(להעריך את בחוץ)

# (-N-) (n =) ^ ^ (e ^ (ihatp_xL // ℏ) # # -L-overbrace #

(אם # n # מתחיל באפס, # (n-1) #המונח הופך את # n #טווח).

כתוצאה מכך, סוף סוף אנחנו מקבלים:

# => צבע (כחול) (Hatx, "e ^ (ihatp_xL // ℏ) = = Lee (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = צבע (כחול) (- LhatT_L) #

ואנחנו חוזרים שוב אל הקוטבטור המקורי, כלומר

# hatx, hatT_L = -LhatT_L צבע (כחול) (sqrt "") #

לבסוף, בואו נראה את זה # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD # #

# n =) (n = 0) ^ (o) ((LhatD)) n (/ n!)) HatD-hatD (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ n) / n !)) #

כתיבת זאת במפורש, אנו יכולים לראות את זה עובד:

# = color (כחול) (HatT_L, "" HatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - HatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + HatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

(0)! (= LAHD) ^ (0) (0!) HatD-hatD (LhatD) ^ 0) / (0!) + 1) / (1!) +… #

# = (LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L = 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD ^ (1), hatD +… #

# # (כחול) (סכום = n = 0) ^ (o) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n ", hatD # #

ומאז # hatD # תמיד נוסע עם עצמו, # hatD ^ n, hatD = 0 # ולכן,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (כחול) (sqrt "") #