בבקשה להסביר, זה טרנספורמציה לינארית או לא?

תשובה:

ראה למטה

הסבר:

טרספורמציה #T: V אל W # הוא אמר להיות ליניארי אם יש לו את שני המאפיינים הבאים:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # לכל # v_1, v_2 ב- V #
• #T (cv) = cT (v) # לכל #v ב- V # וכל סקלר # c #

שים לב כי הנכס השני מניח כי # V # מוטמעת בשני פעולות של כפל סקלרי וסכום. במקרה שלנו, הסכום הוא הסכום בין פולינומים, והכפל הוא הכפל במספרים ממשיים (אני מניחה).

כאשר אתה מפיק פולינום אתה מוריד את התואר על ידי #1#, אז אם שלך לגזור פולינום תואר #4# פעמיים, תקבל פולינום תואר #2#. שים לב, כאשר אנו מדברים על קבוצה של כל ארבע מעלות polyinomial, אנחנו בעצם מתכוון להגדיר את כל פולינומים של תואר הכי הרבה ארבעה. למעשה, ברמה הגנרית ארבעה פולינום הוא

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

אם אתה רוצה את התואר שני פולינום # 3 + 6x-5x ^ 2 #, למשל, אתה פשוט לבחור

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

עם זאת נאמר, בואו לזהות את המרחב הפולינומי של התואר # n # עם #P n#, ולהגדיר מפעיל שלנו #T: P_4 ל- P_2 # כך ש #T (f (x)) = f '' (x) # #

בואו proove הנכס הראשון: נניח שיש לנו את הפולינומים

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

ו

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

זה אומר ש # p_1 + p_2 # שווים

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) + x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # הוא הנגזרת השנייה של פולינום זה, כך זה

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(הפעלתי פעמיים את כלל הכוח עבור הגזירה: הנגזרת השנייה של # x ^ # # J #n (n-1) x ^ {n-2} #)

עכשיו בואו לחשב #T (p_1) #, כלומר הנגזרת השנייה של # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

באופן דומה, #T (p_2) #, כלומר הנגזרת השנייה של # p_2 #, J

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

אם לסכם את הביטוי הזה, אתה יכול לראות שיש לנו

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

הנכס השני מוצג בצורה דומה: נתון פולינום

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

יש לנו, עבור כל מספר אמיתי # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

הנגזרת השנייה שלה היא לפיכך

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

אשר שוב זהה למחשוב #T (p) #, ולאחר מכן להכפיל את הכל על ידי # c #, כלומר #T (cp) = cT (p) #