מהו שורש הקוביה של (sqrt3-i)?

הייתי מתחיל על ידי המרת מספר לתוך טופס trigonometric:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

שורש הקוביה של מספר זה יכול להיות כתוב כ:

# z ^ (1/3) #

עכשיו עם זה בחשבון אני משתמש בנוסחה עבור כוח nth של מספר מורכב בצורת טריגונומטריים:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # הנות you

# # (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

אשר מלבני הוא: # 4.2-0.7i #

אני לא מסכים לחלוטין עם התשובה של ג 'ו, כי זה לא שלם וגם (רשמית) טועה.

הטעות הרשמית היא בשימוש של הנוסחה של דה מוברה עם מספרים שאינם שלמים. הנוסחה של דה מוברה יכולה להיות מיושמת רק על מספרים שלמים. פרטים נוספים על זה בדף של ויקיפדיה

שם תמצא הרחבה חלקית של הנוסחה, כדי להתמודד עם # n #השורשים (זה כולל פרמטר נוסף # k #): אם # z = r (cos theta + i חטא theta) # #, לאחר מכן

# (n = + n) = r = {1 / n} (cta (+ the k + p) / n) + i sin ((theta + 2 k pi / n)) # איפה # k = 0, …, n-1 #.

אחת (וגם במובן מסוים ה) רכוש בסיסי מאוד של מספרים מורכבים זה # n #השורשים … # n # שורשים (פתרונות)! הפרמטר # k # (זה משתנה בין #0# ו # n-1 #, לכן # n # ערכים) מאפשר לנו לסכם אותם בנוסחה אחת.

אז שורשי הקוביה יש שלושה פתרונות ומציאת רק אחד מהם לא מספיק: זה פשוט "#1/3# של הפתרון ".

אני אכתוב את הצעת הפתרון שלי להלן. הערות יתקבלו בברכה!

כפי שהציע ג'יאו, הצעד הראשון הוא ביטוי # z = sqrt {3} -i # בטריגונומטריה שלה #r (cos theta + i חטא theta) #. כאשר מתמודדים עם שורשים, הטריגונומטריה היא (כמעט) תמיד כלי שימושי (יחד עם אחד מעריכי). אתה מקבל:

# 3 = 1 = ^ ^ ^ = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = pi / 6 #

לכן # z = r (cos theta + i חטא תטא) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

עכשיו אתה רוצה לחשב את השורשים. לפי הנוסחה שדווחה לעיל, אנו מקבלים:

# (1 + 3) + r = 1/3 + r = {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3 (+ / 6 + 2 k pi) / 3) + 3) + (+ i)

איפה # k = 0, 1, 2 #. אז יש שלושה ערכים שונים של # k # (#0#, #1# ו #2#) המולדים שלושה שורשים מורכבים שונים # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# (+ / + 2 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# (+ / + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # ו # z_2 # הם שלושת הפתרונות.

הפרשנות הגיאומטרית של הנוסחה עבור # n # שורשים הוא מאוד שימושי כדי לצייר את הפתרונות במישור המורכב. גם את העלילה נקודות מאוד יפה את המאפיינים של הנוסחה.

קודם כל, אנו יכולים להבחין כי כל הפתרונות יש את אותו המרחק # r ^ {1 / n} # (בדוגמה שלנו #2^{1/3}#) מהמקור. אז כולם שוכבים על היקף רדיוס # r ^ {1 / n} #. עכשיו אנחנו צריכים לציין איפה כדי למקם אותם על היקף זה. אנו יכולים לשכתב את הטיעונים של סינוס וקוסינוס בדרך הבאה:

# n / n = r = {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (תטא / n + (2pi) / n k) # #

השורש "הראשון" מתאים # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (תטא / n)) #

כל השורשים האחרים ניתן להשיג זאת על ידי הוספת זווית # (2pi) / n # רקורסיבית לזווית # theta / n # יחסית לשורש הראשון # z_0 #. אז אנחנו נעים # z_0 # על ההיקף על ידי סיבוב של # (2pi) / n # רדיאנים (# (360 °) / n #). אז הנקודות ממוקמות על קודקודים של קבוע # n #-גאון. בהתחשב באחד מהם, אנחנו יכולים למצוא את האחרים.

במקרה שלנו:

שם הזווית הכחולה # theta / n = -pi / 18 # ואת מגנטה אחד הוא # (2pi) / n = 2/3 pi #.