איך אתה מוצא את נפח מוצק שנוצר על ידי הסתובבות האזור מגודר על ידי הקימורים y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) מסובבים על y = 4?

תשובה:

# V = 685 / 32pi # מעוקב

הסבר:

ראשית, שרטט את הגרפים.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

#איקס#-לעכב

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # ויש לנו את זה # {(x = 0), (x = 1):} #

אז מיירט הם #(0,0)# ו #(1,0)#

קבל את הקודקוד:

# y_1 = x - 2 = x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

אז קדקוד הוא ב #(1/2,-1/4)#

חזור על הקודם:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # ויש לנו את זה # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

אז מיירט הם # (sqrt (3), 0) # ו # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

אז קדקוד הוא ב #(0,3)#

תוצאה:

כיצד לקבל את עוצמת הקול? נשתמש ב שיטת דיסק!

שיטה זו היא פשוט כי: # "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx #

הרעיון הוא פשוט, אבל אתה חייב להשתמש בו בחוכמה.

וזה מה שאנחנו הולכים לעשות.

מאפשר להתקשר נפח שלנו # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

הערה: אני לוקח # (4-y) # כי # y # הוא רק המרחק מן #איקס#-קומיקס לעקומה, ואילו אנחנו רוצים את המרחק מהקו # y = 4 # אל העקומה!

עכשיו למצוא # a # ו # b #, אנו משווים # y_1 # ו # y_2 # ולאחר מכן לפתור עבור #איקס#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => (x = 3/2 = 1.5), (x = -1): #

מאז # a # מגיע לפני # b #, # => a = -1 # ו # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (2) (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# x = 5 + 5 x x 4/2 (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

לעשות את זה עבור # V_2 #:

# 1 + + = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# = + piint (+) (+) (+ 1) + (+ 1 + 2 + 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _ ^ 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = צבע (כחול) (685pi) / 32) #