השתמש בתיאור רציף אפסים כדי למצוא את אפסים אפשריים של פונקציה פולינומית הבאה: F (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

תשובה:

האפשרי רציונלי אפסים הם:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

הסבר:

בהתחשב you

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

לפי משפט אפסים רציונלי, כל אפסים רציונליים של #f (x) # הם ברורים בצורה # p / q # עבור מספרים שלמים #p, q # עם # p # מחלק של המונח המתמיד #-35# ו # q # מחלק מקדם #33# של המונח המוביל.

המחלקים של #-35# הם:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

המחלקים של #33# הם:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

אז אפסים רציונאליים אפשריים הם:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

או בסדר גודל הולך וגדל:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

שים לב שאלה הן רק האפשרויות הרציונליות. תורת האפס הרציונלית אינה מספרת לנו על אפסים לא רציונליים או מורכבים.

באמצעות שלטון "Descartes" של סימנים, אנו יכולים לקבוע כי זה מעוקב אין אפסים שליליים ו #1# או #3# חיובי אמיתי אפסים.

אז אפסים רציונליים אפשריים רק הם:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

מנסים כל אחד בתורו, אנו מוצאים:

# 1 (11) (= 1)) (צבע) כחול (1) -35 #

#color (לבן) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (לבן) (f (1/11)) = 0 #

לכן # x = 1/11 # הוא אפס # 11x-1 # גורם:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) # #

כדי למקד את הריבוע הנותר אנו יכולים להשתמש בשיטת AC:

מצא זוג גורמים #AC = 3 * 35 = 105 # עם סכום # B = 22 #

הזוג #15, 7# עובד.

השתמש זוג זה לפצל את טווח הביניים ואז גורם לפי קיבוץ:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

# xolor (לבן) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) # #

#color (לבן) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) # #

אז שני אפסים אחרים הם:

# x = 7/3 "# ו # "" x = 5 #