מהי היטל (4i + 3k) על גבי (-2 i + 2k)?

תשובה:

ההקרנה הווקטורית היא #<-28/9,-14/9,28/9>,# היטל הסקלר הוא #14/3#.

הסבר:

בהתחשב # veca = <-4, 0, 3> # ו # vecb = <-2, -1,2>, # אנחנו יכולים למצוא #proj_ (vecb) veca #, ה וקטור הקרנה של # veca # אל # vecb # תוך שימוש בנוסחה הבאה:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

כלומר, את המוצר נקודה של שני וקטורים מחולק לפי גודל # vecb #, כפול # vecb # מחולק לפי גודל. הכמות השנייה היא כמות וקטורית, כפי שאנו מחלקים וקטור על ידי סקלר. שים לב שאנחנו מחלקים # vecb # על פי גודלה כדי להשיג וקטור יחידה (וקטור עם גודל של #1#). ייתכן שתבחין כי הכמות הראשונה היא סקלרית, כפי שאנו יודעים כי כאשר אנו לוקחים את המוצר נקודה של שני וקטורים, התוצאה היא סקלרית.

לכן, סקלר הקרנה של # a # אל # b # J #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, נכתב גם # proj_ (vecb) veca | #.

אנחנו יכולים להתחיל על ידי לקיחת מוצר נקודה של שני וקטורים.

# veca * vecb = <-4, 0, 3> * <-2, -1,2> #

#=> (-4*-2)+(0*-1)+(3*2)#

#=>8+0+6=14#

אז נוכל למצוא את גודל # vecb # על ידי לקיחת שורש הריבוע של סכום הריבועים של כל אחד מהרכיבים.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) # #

# + vecb | = sqrt ((- 2) ^ 2 + (- 1) ^ 2 + (2) ^ 2) # #

# => sqrt (4 + 1 + 4) = sqrt (9) = 3 #

ועכשיו יש לנו כל מה שאנחנו צריכים כדי למצוא את היטל וקטור של # veca # אל # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (14) / 3 * (<-2, -1,2>) / 3 #

#=>(14 < -2,-1,2 >)/9#

#=><-28/9,-14/9,28/9>#

היטל סקלרי של # veca # אל # vecb # הוא רק המחצית הראשונה של הנוסחה, שם #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. לכן, היטל הסקלר הוא #14/3#.

מקווה שזה עוזר!