נניח ש- S1 ו- S2 הם תת-תחומים שאינם מקובצים, כאשר S1 מכיל בתוך S2, ונניח שאפל (S2) = 3?

תשובה:

#1. {1, 2}#

#2. {1, 2, 3}#

הסבר:

הטריק כאן הוא לציין כי בהתחשב subspace # U # של מרחב וקטור # V #, יש לנו #dim (U) <= עמום (V) #. דרך קלה לראות זאת היא לציין כי כל בסיס # U # עדיין תהיה עצמאית באופן ליניארי ב # V #, ועל כן חייב להיות בסיס # V # (אם # U = V #) או יש פחות אלמנטים מאשר בסיס # V #.

עבור שני חלקי הבעיה, יש לנו # S_1subeS_2 #, כלומר, על ידי האמור לעיל, כי #dim (S_1) <= עמום (S_2) = 3 #. בנוסף, אנו יודעים # S_1 # הוא nonzero, כלומר #dim (S_1)> 0 #.

#1.# כפי ש # S_1! = S_2 #, אנו יודעים כי אי השוויון #dim (S_1) <dim (S_2) # היא קפדנית. לכן # 0 <עמום (S_1) <3 #, כלומר #dim (S_1) ב- {1,2} #.

#2.# הדבר היחיד שהשתנה עבור חלק זה הוא כי עכשיו יש לנו את האפשרות של # S_1 = S_2 #. זה משנה את אי השוויון ל # 0 <עמום (S_1) <= 3 #, כלומר # S_1 ב {1,2,3} #