מה הם extrema המוחלט של f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x ב [0, pi / 4]?

תשובה:

מקסימום מוחלט: # (pi / 4, pi / 4) #

דקה מוחלט #(0, 0)#

הסבר:

בהתחשב you #f (x) = 2x חטא 2x + x cos2x ב 0, pi / 4 #

מצא את הנגזרת הראשונה באמצעות כלל המוצר פעמיים.

חוק מוצר: # (uv) 'uv' + v '#

תן #u = 2x; "" u "= 2 #

תן #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 חטא x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

במחצית השנייה של המשוואה:

תן #u = x; "" u '= 1 #

תן #v = cos (2x); "" v "= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

# 2 'x = 2x2 x x2 x x 2 x x + x (2x) (2x) + cos (2x) (1) #

לפשט:

(2x) + 2xin ^ 2x ביטול (2x חטא (2x)) cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin = 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin = 2x + cos ^ 2x - sin = 2x #

#f '(x) = חטא ^ 2x + cos ^ 2x #

זהות פיתגורס # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

פירוש הדבר שאין ערכים קריטיים כאשר #f '(x) = 0 #

מקסימום מוחלט ומינימום יהיה למצוא את נקודות הקצה של מרווח פונקציה.

בדוק נקודות קצה של הפונקציה:

#f (0) = 0; "מינימום מוחלט:" (0, 0) #

# (pi / 4) = 2 * pi / 4 חטא ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

# pi / 4) pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "מקסימום מוחלט:" (pi / 4, pi / 4) #