תשובה:
עקומת הצומת עשויה להיות פרמטריסטית # (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #.
הסבר:
אני לא בטוח למה אתה מתכוון על ידי פונקציה וקטורית. אבל אני מבין את זה שאתה מבקש לייצג את עקומת הצומת בין שני משטחים בהצהרה השאלה.
מאז הצילינדר הוא סימטרי סביב # z # ציר, זה יכול להיות קל יותר להביע את העקומה בקואורדינטות גליליות.
שינוי לקואורדינטות גליליות:
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
#z = z #.
# r # הוא המרחק מ # z # ציר ו # theta # הוא זווית נגד כיוון השעון מ #איקס# ציר ב # x, y # מטוס.
ואז הופך את המשטח הראשון
# x ^ 2 + y ^ 2 = 81 #
# r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 #
# r ^ 2 = 81 #
# r = 9 #, בגלל הזהות הטריגונומטרית פיתגורס.
המשטח השני הופך
#z = xy #
#z = rcos theta rsin theta #
# z = r ^ 2sin theta cos theta #.
למדנו מן המשוואה של המשטח הראשון כי עקומת מצטלבת חייב להיות במרחק בריבוע # r ^ 2 = 81 # מן המשטח הראשון, נותן את זה
#z = 81 חטא theta cos theta #, #z = (81/2) sin2 theta #, עקומת פרמטרית על ידי # theta #. השלב האחרון הוא הזהות הטריגונומטית ונעשה רק מתוך העדפה אישית.
מן הביטוי הזה אנו רואים כי העקומה היא אכן עקומה, שכן יש מידה אחת של חופש.
בסך הכל, אנחנו יכולים לכתוב את עקומת כמו
# (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9) #, שהוא פונקציה מוערכת וקטורית של משתנה יחיד # theta #.
תשובה:
ראה למטה.
הסבר:
בהתחשב בצומת של
# C_1 -> {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (z ב RR):} #
עם
# C_2-> z = x y #
או # C_1 nn C_2 #
יש לנו
# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2), (x ^ 2y ^ 2 = z ^ 2):} #
עכשיו לפתור עבור # x ^ 2, y ^ 2 # אנו משיגים את העקומות הפרמטריות
# (x ^ 2 = 1/2) r ^ 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))), (y ^ 2 = 1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2))):} # או
# (x = pm sqrt (1/2 (r = 2-sqrt (r ^ 2-4 z ^ 2)))), (y = pm sqrt (1/2 (r ^ 2 + sqrt (r ^ 2 -4 z ^ 2)))):} #
אשר אמיתי עבור
# r ^ 2-4 z ^ 2 ge 0 rRrr z lepm (r / 2) ^ 2 #
מצורף עלילה המציגה את עקומת הצומת באדום (עלה אחד).
