זוהי הוכחה טריגונומטית של מקרה כללי, השאלה היא בתיבה פרטים?

תשובה:

הוכחה על ידי אינדוקציה היא למטה.

הסבר:

בואו להוכיח את זהותו על ידי אינדוקציה.

א # n = 1 # אנחנו חייבים לבדוק את זה

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

אכן, תוך שימוש בזהות #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, אנחנו רואים ש

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2 cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

ומתוך כך

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

אז, עבור # n = 1 # הזהות שלנו נכונה.

ב. נניח שהזהות נכונה # n #

אז, אנחנו מניחים את זה

# (2 cos (2 ^ ntheta) 1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j ב 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 # #

(סמל #פאי# משמש למוצר)

באמצעות הנחת B לעיל, בואו להוכיח את הזהות # n # 1 #

אנחנו חייבים להוכיח כי מתוך הנחה ב 'כדלקמן

# 2 (2 + 2) (n + 1) theta) 1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j ב 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 # #

(שים לב כי הגבול הנכון עבור אינדקס של כפל הוא # n # עכשיו).

הוכחה

שימוש בזהות #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # ל # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 =

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = # #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

מחלקים התחלה וסיום ביטויים על ידי # 2cos (theta) +1 #, מקבל

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# 2 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

עכשיו אנו משתמשים בהנחה B מקבל

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# 2 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 # #

(שים לב לטווח של מדד עכשיו הוארך # n #).

הנוסחה האחרונה זהה בדיוק עבור # n # 1 # כמו המקור עבור # n #. זה משלים את ההוכחה על ידי אינדוקציה כי הנוסחה שלנו נכון עבור כל # n #.

תשובה:

ראה את ההוכחה בסעיף ההסבר שלהלן.

הסבר:

זה שווה ערך להוכיח כי, (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# 2 (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) # # cosx + 1) (2cosx-1)

(2cos4x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) # # cc2 ^

# 2 (cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) # #

# 2 (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# 2 (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# 2 (2cos (2 * 2x) 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# 2 (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S." #

תהנה מתמטיקה.!