איך אתה מוצא את הערכים המדויקים של cos 2pi / 5?

תשובה:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

הסבר:

הנה הפתרון האלגנטי ביותר שמצאתי ב:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

אז אם # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

החלפת cos (2x) ו cos (3x) על ידי נוסחאות כלליות שלהם:

#color (אדום) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 ו- cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, אנחנו מקבלים:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

מחליף # cosx # על ידי # y #:

# 4y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (y-1) (4y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

אנחנו יודעים את זה #y! = 1 #, אז אנחנו צריכים לפתור את החלק הריבועי:

#y = (+ 2) -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) # #

#y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

מאז #y> 0 #, # y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #