הוכח sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

תשובה:

הסבר

הסבר:

במישור הקואורדינטות הרגיל, יש לנו קואורדינטות כמו (1,2) ו- (3,4) ודברים כאלה. אנחנו יכולים reexpress אלה קואורדינטות n במונחים של רדיוסים וזוויות. אז אם יש לנו את הנקודה (א, ב) זה אומר שאנחנו הולכים יחידות מימין, b יחידות למעלה #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # כמו המרחק בין המוצא לנקודה (א, ב). אני אתקשר #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

אז יש לנו # re ^ arctan (b / a) #

עכשיו כדי לסיים את ההוכחה הזאת בואו נזכור נוסחה.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

הפונקציה של ארק שיזוף נותן לי זווית שהיא גם theta.

אז יש לנו את המשוואה הבאה:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + חטא (arctan (b / a)) #

עכשיו מאפשר לצייר משולש ימין.

ארקטן של (b / a) אומר לי כי ב הוא בצד ההפוך א הוא בצד הסמוך. אז אם אני רוצה את cos של arctan (b / a), אנו משתמשים משפט Pythagorean כדי למצוא את hypotenuse. את hypotenuse הוא #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. אז cos (arctan (b / a)) = סמוך מעל hypotenuse = # a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # #.

החלק הכי טוב על זה היא העובדה כי אותו עיקרון חל על סינוס. אז חטא (ארקטן (b / a)) = הפוך על hypotenuse = # b / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # #.

אז עכשיו אנחנו יכולים להביע מחדש את התשובה שלנו כמו זה: # # * (a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) #.

אבל זכור #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # אז עכשיו יש לנו: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. R של לבטל, ואתה נשאר עם הבאות: # a + bi #

לכן, # (re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #