להוכיח: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

להוכיח # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

תן # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

עכשיו # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

הצג

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

לפעמים טריג הוא פחות על ביצוע מתמטיקה ועוד על זיהוי מתמטיקה כאשר אנו רואים את זה. כאן אנו מזהים # 4x ^ 3 -3x # כמו הנוסחה הקוסינוס זווית משולש, # cos (3 theta) # מתי # x = cos theta #.

Postetary # 4x ^ 3-3x # נקרא גם # T_3 (x) #, השלישי Chebyshev פולינום מהסוג הראשון. בכללי, # cos (nx) = T_n (cos x) # #

נניח # arccos # מתייחס לערך העיקרי. אני מעדיף להתקשר למנהל #text {Arc} טקסט {cos} # אבל זה קשה יותר להקליד.

מספיק רקע. ברגע שאנו מכירים את הנוסחה זווית משולשת ההוכחה היא קלה.

הוכחה:

תן #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) Quad מרובע #