ישנם 7 ילדים בכיתה. בכמה דרכים הם יכולים לעמוד בתור להפסקה?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

זו בעיה מסוימת היא תמורה. כזכור, ההבדל בין תמורות לשילובים הוא, כי עם תמורות, סדר העניינים. בהתחשב בכך השאלה שואלת כמה דרכים התלמידים יכולים בשורה עבור הפסקה (כלומר כמה הזמנות שונות), זה הוא תמורה.

תארו לעצמכם לרגע שאנחנו מילאנו רק שתי עמדות, מיקום 1 ומיקום 2. כדי להבדיל בין התלמידים שלנו, כי סדר בסדר, אנו להקצות כל מכתב מ A ל- G. עכשיו, אם אנחנו ממלאים תפקידים אלה אחד בכל פעם, יש לנו שבע אפשרויות למלא את העמדה הראשונה: A, B, C, D, E, F, G. עם זאת, לאחר המיקום הזה מלא, יש לנו רק שש אפשרויות עבור השני, כי אחד התלמידים כבר ממוקמים.

כדוגמה, נניח A נמצא במצב 1. אז ההזמנות האפשריות שלנו עבור שתי עמדות שלנו הם AB (כלומר A במצב 1 ו B במצב 2), AC, AD, AE, AF, AG. עם זאת … זה לא מסביר את כל ההזמנות האפשריות כאן, שכן יש 7 אפשרויות עבור המיקום הראשון. לכן, אם B היו במיקום 1, היו לנו כמו אפשרויות BA, BC, BD, BE, BF, BG. לכן אנו מכפילים את מספר האופציות שלנו יחד: #7*6 = 42#

במבט לאחור על הבעיה הראשונית, ישנם 7 תלמידים שניתן להציב במקום 1 (שוב, בהנחה שאנחנו ממלאים עמדות 1 עד 7 לפי הסדר). לאחר מיקום 1, ניתן למקם 6 תלמידים במצב 2. עם מיקום 1 ו -2 מלא, 5 ניתן למקם במקום 3, וכו ', עד רק תלמיד אחד יכול להיות ממוקם במיקום האחרון. לכן, הכפלת מספר האופציות שלנו יחד, אנחנו מקבלים #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

עבור נוסחה כללית יותר כדי למצוא את מספר תמורות של # n # חפצים שצולמו # r # בכל פעם, ללא תחליף (כלומר, התלמיד במשרה 1 אינו חוזר לאזור ההמתנה ויהיה אופציה למיקום 2), אנו נוטים להשתמש בנוסחה:

מספר תמורות = # "n!" / "(n-r)!".

עם # n # מספר החפצים, # r # מספר המשרות שיש למלא, ו #!# סמל עבור עצרת, פעולה אשר פועלת על מספר שלם שלילי # a # כך ש #a! # = # פעמים (א -1) פעמים (א -2) פעמים (א-3) פעמים … פעמים (1)

לכן, באמצעות הנוסחה שלנו עם הבעיה המקורית, שבה יש לנו 7 תלמידים לקחו 7 בכל פעם (למשל אנחנו רוצים למלא 7 עמדות), יש לנו

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

זה אולי נראה אנטי אינטואיטיבי כי #0! = 1#; אבל זה אכן כך.