אנא עזור. אני לא בטוח איך לעשות את זה מהר מבלי להכפיל את כל זה?

תשובה:

התשובה (אני) J #240#.

התשובה (ii) J #200#.

הסבר:

אנו יכולים לעשות זאת באמצעות המשולש של פסקל, המוצג להלן.

(אני)

מאז המעריך #6#, אנחנו צריכים להשתמש בשורה השישית במשולש, הכולל #color (סגול) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # ו #color (סגול) 1 #. בעיקרון, נשתמש #color (כחול) # 1 # כמו הקדנציה הראשונה ו #color (אדום) (2x) # כמו השני. לאחר מכן, נוכל ליצור את המשוואה הבאה. המעריך של המונח הראשון עולה על ידי #1# בכל פעם ומקטע התקופה השנייה פוחת #1# עם כל מונח מהמשולש.

# צבע (סגול) 1 * צבע (כחול) (1 ^ 0) * צבע (אדום) (2x) ^ 6)) + (צבע (סגול) 6 * צבע (כחול) (1 ^ 1) * צבע ((צבע אדום) (2x) ^ 5)) + (צבע (סגול) 15 * צבע (כחול) (1 ^ 2) * צבע (אדום) (2x) ^ 4)) + (צבע (סגול) 20 * (1) 3 * צבע (אדום) (2x) ^ 3)) + (צבע (סגול) 15 * צבע (כחול) (1 ^ 4) * צבע (אדום) (2x) ^ 2)) + צבע (סגול) 6 * צבע (כחול) (1 ^ 5) * צבע (אדום) (2x) ^ 1)) + (צבע (סגול) 1 * צבע (כחול) (1 ^ 6) * צבע (אדום) ((2x) ^ 0)) #

לאחר מכן, אנו יכולים לפשט אותו.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

לכן, המקדם של # x ^ 4 # J #240#.

(ii)

אנחנו כבר יודעים את ההתרחבות של # (1 + 2x) ^ 6 #. עכשיו, אנחנו יכולים להכפיל את שני הביטויים יחד.

# צבע (חום) (1-x (1/4)) * צבע (כתום) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) # #

מקדם #איקס# in # 1-x (1/4) # J #1#. אז, אנחנו יודעים שזה יעלה את ערכי המעריכים בביטוי אחר על ידי #1#. כי אנחנו צריכים את מקדם # x ^ 4 #, אנחנו רק צריכים להכפיל # 160x ^ 3 # על ידי # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

עכשיו, אנחנו צריכים להוסיף את זה # 240x ^ 4 #. זהו חלק אחד של הפתרון של # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, בגלל הכפל על ידי #1#. זה משמעותי כי יש לו גם מעריך של #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

לכן, המקדם הוא #200#.

תשובה:

אני. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

הסבר:

ההתרחבות הבינומית עבור # (a + bx) ^ c # יכול להיות מיוצג על ידי:

# cum (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)! a ^ (c-n) (bx) ^ n #

עבור חלק 1 אנחנו רק צריכים מתי # n = 4 #:

# (6!) / (4) (6-4)! 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

עבור חלק 2, אנחנו גם צריכים את # x ^ 3 # טווח בגלל # x / 4 #

# (6!) (2x) ^ 3 (6-3)!

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #