לפתור את המשוואה הבאה במספרים טבעיים: x² + y² = 1997 (x-y)?

תשובה:

# (x, y) = (170, 145) # או # (x, y) = (1817, 145) #

הסבר:

ההוכחה הבאה מבוססת על כך בספר "מבוא למשוואות דיופנטיות: גישה מבוססת בעיה" מאת טיטו אנדריסקו, דורין אנדריקה, יון קוקורזאנו.

בהתחשב you

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

תן #a = (x + y) # ו #b = (1997-x + y) # #

לאחר מכן:

# a + 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2x + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) xy) # #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

מכאן אנו מוצאים:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

מאז #1997# הוא ממשלה, # a # ו # b # אין גורם משותף גדול יותר מאשר #1#.

לפיכך קיימים מספרים שלמים וחיוביים #m, n # עם #m> # ולא גורם משותף גדול יותר #1# כך ש:

# (1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} צבע (לבן) (XX) "או" צבע (לבן) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

מסתכל על # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # in #3# ו mod #5# אריתמטי, אנו מוצאים:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) ומכאן #m - = + -1 # ו #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) ומכאן #m - = + -1 # ו #n - = + -1 # (mod #5#)

זה אומר כי האפשרויות היחידות #m, n # מודולו #15# הם #1, 4, 11, 14#.

בנוסף לציין כי:

# m ^ 2 ב (1997/2, 1997) #

לפיכך:

#m (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~ ~ (31.6, 44.7) #

אז רק את האפשרויות #M# הם #34, 41, 44#

אנחנו מוצאים:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# לא ריבוע מושלם.

#1997 - 44^2 = 61# לא ריבוע מושלם.

לכן # (m, n) = (34, 29) #

לכן:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

או

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#צבע לבן)()#

אם # (a, b) = (1972, 315) # לאחר מכן:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

ולכן:

# (x, y) = (1817, 145) #

#צבע לבן)()#

אם # (a, b) = (315, 1972) # לאחר מכן:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

ולכן:

# (x, y) = (170, 145) #