תשובה:
המרכז יהיה ב #(2, 7)# ואת הרדיוס הוא #sqrt (24) #.
הסבר:
זוהי בעיה מסקרנת הדורשת מספר יישומים של ידע במתמטיקה. הראשון שבהם הוא רק לקבוע מה אנחנו צריכים לדעת ואיך זה עשוי להיראות.
למעגל יש את המשוואה הכללית:
# (x + a) ^ 2 + (y + b) ^ 2 = r ^ 2 #
איפה # a # ו # b # הם קצות הקואורדינטות של המעגל. # r #, כמובן, הוא רדיוס. אז המטרה שלנו תהיה לקחת את המשוואה שאנחנו מקבלים, ולהפוך אותו יש צורה.
כאשר מסתכלים על המשוואה נתונה, נראה כאילו ההימור הטוב ביותר שלנו יהיה factoring שני פולינומים הציג (אחד מורכב #איקס#s ואת אחד מורכב # y #s). זה ברור רק מלהסתכל על המקדמים של המשתנים תואר ראשון איך זה יתברר:
# x ^ 2 -4x -> (x - 2) ^ 2 #
# y ^ 2 - 14y -> (y - 7) ^ 2 #
מאחר שאלה הם הריבועים היחידים שייתנו לנו את מקדם התואר הראשון המתאים. אבל יש בעיה!
# (x - 2) ^ 2 = x ^ 2 - 4x + 4 #
# (y - 7) ^ 2 = y ^ 2 - 14y + 49 #
אבל כל מה שיש לנו הוא #29# במשוואה. ברור כי אלה קבועים נוספו יחד כדי ליצור מספר אחד שאינו משקף את הרדיוס האמיתי. אנחנו יכולים לפתור את המספר האמיתי, # c #, ככה:
# 4 + 49 + c = 29 #
# 53 + c = 29 #
#c = -24 #
אז לשים את זה ביחד אנחנו מקבלים:
# (x - 2) ^ 2 + (y - 7) ^ 2 - 24 = 0 #
אשר באמת הוא פשוט:
# (x - 2) ^ 2 + (y - 7) ^ 2 = 24 #
עכשיו שיש לנו מעגל סטנדרטי, אנחנו יכולים לראות כי המרכז יהיה ב #(2, 7)# ואת הרדיוס הוא #sqrt (24) #.
