תשובה:
# a_n = P_n ^ (d + 2) = a ^ 2 + b ^ n + c #
עם # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #
# P_n ^ (d + 2) # היא סדרה של פוליגונלים של דרגה, # r = d + 2 #
למשל נתון ברצף אריתמטי לדלג לספור על ידי # d = 3 #
יהיה לך #color (אדום) (מחומש) # סדר פעולות:
# P_n ^ צבע (אדום) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # נתינה # P = ^ 5 = {1, צבע (אדום) 5, 12, 22,35,51, cdots}
הסבר:
רצף polygonal נבנה על ידי לקיחת # nth # סכום של רצף אריתמטי. בחישוב זה יהיה שילוב.
אז ההיפותזה המרכזית כאן היא:
מאז רצף אריתמטי הוא ליניארי (חושב משוואה ליניארית) ולאחר מכן שילוב רצף ליניארי תוביל רצף פולינומי של תואר 2.
עכשיו להראות את זה במקרה
התחל עם רצף טבעי (לדלג לספור על ידי מתחיל עם 1)
#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #
למצוא את הסכום של #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #
# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #
#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #
# a_n # הוא רצף אריתמטי עם
# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #
# (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #
#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #
אז עם d = 1 רצף של הטופס # P_n ^ 3 = a ^ 2 + bn + c #
עם #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #
עכשיו להכליל לדלפק שרירותי לדלג #color (אדום) d #, #color (אדום) d בצבע (כחול) ZZ # ו # a_1 = 1 #:
# + P # ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + צבע (אדום) d (n-1)) / 2 n #
# (+ 2) = (2 + צבע (אדום) d (n-1)) / 2 n #
# (+ 2) + צבע (אדום) d / 2n ^ 2 + (2-color (אדום) d) n / 2 #
שהוא צורה כללית # P_n ^ (d + 2) = a + 2 + bn + c #
עם # a = צבע (אדום) d / 2; b = (2-color (אדום) d) / 2; c = 0 #
