מה עושה 3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) שווה?

תשובה:

הבעיה ניתנת לפתרון

הסבר:

אין קשתות כי הקוסינוס שלהם שווים 2 ו 3.

מנקודת מבט אנליטית, # arccos # הפונקציה מוגדרת רק ב #-1,1# לכן #arccos (2) # & #arccos (3) # לא קיימים.

תשובה:

באמת # cos # ו #חטא# זה אין פתרונות, אבל כמו פונקציות של מספרים מורכבים אנו מוצאים:

# 3 חטא (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

הסבר:

כמו פונקציות מוערך אמיתי של ערכים ריאליים של #איקס#, את הפונקציות #cos (x) # ו #sin (x) # רק לקחת ערכים בטווח #-1, 1#, לכן #arccos (2) # ו #arccos (3) # אינם מוגדרים.

עם זאת, ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציות אלה פונקציות מורכבות #cos (z) # ו #sin (z) # כדלהלן:

מתחיל עם:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

אנו יכולים להסיק:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

# (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

לפיכך אנו יכולים להגדיר:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

עבור כל מספר מורכב # z #.

ניתן למצוא ערכים מרובים של # z # כי לספק #cos (z) = 2 # או #cos (z) = 3 #, ולכן יכולות להיות כמה אפשרויות כדי להגדיר את הערך העיקרי #arccos (2) # או #arccos (3) #.

כדי למצוא מועמדים מתאימים, לפתור # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, וכו.

עם זאת, לציין את הזהות # cos ^ 2 z + sin = 2 z = 1 # מחזיקה עבור כל מספר מורכב # z #, כך שנוכל להסיק:

#sin (arcos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

אני מקווה שניתן להגדיר את הערך העיקרי באופן כזה #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # ולא # -sqrt (3) i #.

בכל מקרה, #cos (arccos (3)) = 3 # לפי הגדרה.

לשים את כל זה ביחד, אנו מוצאים:

# 3 חטא (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #