כיצד למצוא נגזרת ראשונה של f (x) = 2 חטא (3x) + x?

תשובה:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

הסבר:

לבדל כל מונח:

# (d (x)) / dx = 1 #

תוך שימוש בכללי השראה לתקופת כהונה שנייה:

# g (x) = h (k (x)) = g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

עם:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

ביחד יש לנו:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

תשובה:

אנו מתבקשים למצוא את הנגזרת של #f (x) = 2sin (3x) + x # באמצעות הגדרה: # f (x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

הסבר:

אנחנו צריכים להעריך:

# (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

זה יהיה מסורבל. כדי שזה ייראה פחות מסובך, בואו נחלק את הביטוי לשני חלקים פשוטים יותר. ניקח את החלק הטריגונומטרי ואת החלק הליניארי בנפרד.

(x + h) -x) / h # (hrarr0) (2xin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h +

אני מניח שאתה יכול להראות כי הגבול השני הוא #1#. המגבלה המאתגרת יותר היא הגבול בין פונקציות טריגונומטריות.

# h3 (hrarr0) (חטא (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2limim (hrarr0) (overbrace) (sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ חטא (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) # #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) # #

# = 2 limr (hrarr0)) lim3 (hrarr0) (3 hrarr0)

# 3 = (limim (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (3)) (3h))

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

לכן, כאשר אנחנו מכניסים את שני החלקים יחד, אנחנו מקבלים:

# (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

(x + h) -x) / h # (= hrarr0) (2 xin)

# = 6cos (3x) + 1 #