תשובה:
# 3x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27 cos ^ (- 1) (3x) / 2) + c #
הסבר:
עבור בעיה זו הגיוני # 4-9x ^ 2> = 0 #, לכן # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. לכן אנו יכולים לבחור # 0 <= u <= pi # כך ש # x = 2 / 3cosu #. באמצעות זה, אנו יכולים להחיל את המשתנה x ב אינטגרל באמצעות # dx = -2 / 3sinudu #: #int = x 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # כאן אנו משתמשים בזה # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # וכי # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
עכשיו אנחנו משתמשים באינטגרציה על ידי חלקים כדי למצוא # intcos ^ 2udu = intocosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. לכן # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
אז מצאנו #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, עכשיו אנחנו תחליף #איקס# עבור # u #, שימוש # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, לכן # (3x) / 2) / - 2 / 27cos ^ (- 1) (3x) / 2 (xx / 2) / dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1)) + c #.
אנחנו יכולים לפשט עוד יותר את זה באמצעות ההגדרה של cines ואת cosines במונחים של משולשים. עבור משולש ימין עם זווית # u # באחת הפינות הלא-ישרות, # sinu = "הצד הנגדי" / "הצד הארוך ביותר" #, בזמן # cosu = "הצד הסמוך" / "הצד הארוך ביותר" #, שכן אנו יודעים # cosu = (3x) / 2 #, אנחנו יכולים לבחור את הצד הסמוך להיות # 3x # ואת הצד הארוך ביותר להיות #2#. באמצעות משפט Pythagoras, אנו מוצאים את הצד הנגדי להיות #sqrt (4-9x ^ 2) #, לכן #sin (cos ^ (- 1) (3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) # #. לכן # 3x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27 cos ^ (- 1) (3x) / 2) + c #.
